Геометрические характеристики эллипса

Цель: Проверка точности вычислений геометрических характеристик сплошного эллиптического поперечного сечения стержня.

Формулировка задачи: Для сплошного эллиптического поперечного сечения стержня проверить точность вычисления геометрических характеристик.

Ссылки: С. П. Демидов, Теория упругости, Москва, Высшая школа, 1979.
А. И. Лурье, Теория упругости, Москва, Наука, 1970.

Исходные данные:

ν = 0.30 - коэффициент Пуассона;
a = 50 см - размер большой полуоси эллиптического поперечного сечения (вдоль оси Y);
b = 30 см - размер малой полуоси эллиптического поперечного сечения (вдоль оси Z).

 

Файл с исходными данными: Ellipse_Solid.cns

 

Расчетная модель: Расчетная модель образуется методом триангуляции (число треугольников ≈ 3000) на основе модели внешнего контура, импортируемого из графического редактора AutoCAD. Модель внешнего контура представляет собой многоугольник, вписанный в эллипс с заданными характеристиками и построенный в полярных координатах с шагом угла 3°. Количество вершин многоугольника в модели - 120.

 

Результаты решения в Консул


Расчетная модель, координатные и главные оси, центр масс, эллипс инерции, ядро сечения

 

Сравнение решений:

Параметр

Теория

КОНСУЛ

Отклонение, %

Площадь поперечного сечения, A см2

4712.389

4709.319

0.07

Условная площадь среза вдоль главной оси U, Av,y см2

3724.143

3702.975

0.57

Условная площадь среза вдоль главной оси V, Av,z см2

4147.170

4161.672

0.35

Угол наклона главных осей инерции, α рад

1.5708

1.5708

0.00

Момент инерции относительно центральной оси Y1, параллельной оси Y, Iy см4

1060287.521

1059491.143

0.08

Момент инерции относительно центральной оси Z1, параллельной оси Z, Iz см4

2945243.113

2939784.432

0.19

Момент инерции при свободном кручении, It см4

3118492.708

3064969.367

1.72

Секториальный момент инерции, Iw см6

97835065.337

95561910.155

2.32

Радиус инерции относительно оси Y1, iy см

15.000

14.980

0.13

Радиус инерции относительно оси Z1, iz см

25.000

24.991

0.04

Максимальный момент сопротивления относительно оси U, Wu+ см3

58904.862

58795.689

0.19

Минимальный момент сопротивления относительно оси U, Wu- см3

58904.862

58795.689

0.19

Максимальный момент сопротивления относительно оси V, Wv+ см3

35342.917

35316.371

0.08

Минимальный момент сопротивления относительно оси V, Wv- см3

35342.917

35316.371

0.08

Пластический момент сопротивления относительно оси U, Wpl,u см3

100000.000

99796.050

0.20

Пластический момент сопротивления относительно оси V, Wpl,v см3

60000.000

59820.326

0.30

Максимальный момент инерции, Iu см4

2945243.113

2939784.432

0.19

Минимальный момент инерции, Iv см4

1060287.521

1059491.143

0.08

Максимальный радиус инерции, iu см

25.000

24.985

0.06

Минимальный радиус инерции, iv см

15.000

14.999

0.01

Ядровое расстояние вдоль положительного направления оси Y (U), a u+ см

7.500

7.494

0.08

Ядровое расстояние вдоль отрицательного направления оси Y (U), a u- см

7.500

7.480

0.27

Ядровое расстояние вдоль положительного направления оси Z (V), a v+ см

12.500

12.491

0.07

Ядровое расстояние вдоль отрицательного направления оси Z (V), a v- см

12.500

12.491

0.07

Координата центра масс по оси Y, ym см

0.000

0.000

Координата центра масс по оси Z, zm см

0.000

0.000

Координата центра изгиба по оси Y, yb см

0.000

0.013

Координата центра изгиба по оси Z, zb см

0.000

0.040

Периметр, P см

255.180

255.180

0.00

Внутренний периметр, Pi см

0.000

0.000

Внешний периметр, Pe см

255.180

255.180

0.00

Полярный момент инерции, Ip см4

4005530.633

3993669.583

0.30

Полярный радиус инерции, ip см

29.155

29.136

0.07

Полярный момент сопротивления, Wp см3

80110.800

79872.926

0.30

 

 

Замечания: При аналитическом решении геометрические характеристики сплошного эллиптического поперечного сечения стержня определяются по следующим формулам:

\[ A=\pi \cdot a\cdot b; \] \[ A_{v,y} =\frac{3\cdot \left( {1+\nu } \right)^{2}\cdot \left( {a^{2}+3\cdot b^{2}} \right)^{2}\cdot b^{2}}{\left( {1+\nu } \right)^{2}\cdot \left( {22\cdot a^{2}+30\cdot b^{2}} \right)\cdot b^{4}+\left( {2\cdot \nu ^{2}\cdot a^{2}+\left( {4+8\cdot \nu +10\cdot \nu^{2}} \right)\cdot b^{2}} \right)\cdot a^{4}}\cdot \pi \cdot a\cdot b; \] \[ A_{v,z} =\frac{3\cdot \left( {1+\nu } \right)^{2}\cdot \left( {3\cdot a^{2}+b^{2}} \right)^{2}\cdot a^{2}}{\left( {1+\nu } \right)^{2}\cdot \left( {30\cdot a^{2}+22\cdot b^{2}} \right)\cdot a^{4}+\left( {\left( {4+8\cdot \nu +10\cdot \nu^{2}} \right)\cdot a^{2}+2\cdot \nu^{2}\cdot b^{2}} \right)\cdot b^{4}}\cdot \pi \cdot a\cdot b; \] \[ \alpha =0; \quad I_{y}=I_{v} =I_{1} =\frac{\pi \cdot a\cdot b^{3}}{4}; \quad I_{z} =I_{u} =I_{2} =\frac{\pi \cdot a^{3}\cdot b}{4}; \] \[ I_{t} =\frac{\pi \cdot a^{3}\cdot b^{3}}{a^{2}+b^{2}}; \quad I_{w} =\frac{\pi \cdot a^{3}\cdot b^{3}}{24}\cdot \left( {\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}} \right)^{2}; \] \[ i_{y} =i_{v} =\frac{b}{2}; \quad i_{z} =i_{u} =\frac{a}{2}; \] \[ W_{u+} =W_{u-} =\frac{\pi \cdot a^{2}\cdot b}{4}; \quad W_{v+} =W_{v-} =\frac{\pi \cdot a\cdot b^{2}}{4}; \] \[ W_{pl,u} =\frac{4\cdot a^{2}\cdot b}{3}; \quad W_{pl,v} =\frac{4\cdot a\cdot b^{2}}{3}; \] \[ a_{u+} =a_{u-} =\frac{b}{4}; \quad a_{v+} =a_{v-} =\frac{a}{4}; \] \[ y_{m} =y_{b} =z_{m} =z_{b} =0; \] \[P=P_{e} =4\cdot a\cdot E\left( {\frac{\sqrt {a^{2}-b^{2}} }{a}} \right), \quad где: \quad E\left( x \right) \text {- полный эллиптический интеграл Лежандра второго рода;} \] \[ P\approx 4\cdot \left( {a+b} \right)-\frac{2\cdot \left( {4-\pi } \right)\cdot a\cdot b}{\sqrt[{\frac{3\cdot \pi -8}{8-2\cdot \pi }}]{\frac{a^{\frac{3\cdot \pi -8}{8-2\cdot \pi }}+b^{\frac{3\cdot \pi -8}{8-2\cdot \pi }}}{2}}}; \quad P\approx \pi \cdot \left( {a+b} \right); \quad P_{i} =0; \] \[ I_{12} =0; \quad I_{p} =\frac{\pi \cdot a\cdot b\cdot \left( {a^{2}+b^{2}} \right)}{4}; \quad i_{p} =\frac{\sqrt {a^{2}+b^{2}} }{2}; \quad W_{p} =\frac{\pi \cdot b\cdot \left( {a^{2}+b^{2}} \right)}{4}. \]