Шарнирно опертая балка, нагруженная сосредоточенной силой и равномерно-распределенным давлением

Цель: Комбинированное нагружение (поперечное давление, сосредоточенная сила) в одной плоскости без учета деформаций поперечного сдвига. Проверяются перемещения и усилия.

Формулировка задачи: Шарнирно опертая балка нагружается сосредоточенной силой Р и равномерно распределенным давлением q. Определяются перемещения w, углы поворота θ, поперечные силы Q и изгибающие моменты М.

Ссылки: Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. — Киев: Наук. думка, 1988.

Исходные данные:

E = 2.0·1011 Па - модуль упругости;
μ = 0.3 - коэффициент Пуассона;
l = 3 м - длина балки;
F = 14.2·10-4 м2 - площадь поперечного сечения;
I = 2.44·10-6 м4 - момент инерции;
Р = −5 кН - значение сосредоточенной силы;
q = 10 кН/м - значение давления;
a = b = 1.5 м - геометрический размер.


Файл с исходными данными: 4_3.spr

Конечноэлементная модель:

Расчетная  схема – плоская рама, 10 стержневых элементов, 11 узлов.

Результаты решения в SCAD

Эпюра изгибающего момента М (кН*м) 

Эпюра поперечной силы Q  (кН)

Значение поперечных перемещений  w (мм)

Значение углов  поворота θ (рад)

Сравнение решений:

Параметр

Теория

SCAD

Отклонения, %

Прогиб  в точке С, мм

-5.043

-5.043

0.00

Угол поворота в точке В, рад

-7.204·10-3

-7.204·10-3

0.00

Изгибающий момент в точке С, кН·м

1.875

1.875

0.00

Поперечная сила  в точке A, кН

1.25

1.25

0.00

Поперечная сила  в точке B, кН

-8.75

-8.75

0.00

 

Замечания: При аналитическом решении прогиб в точке C может быть вычислен по следующей формуле («Справочник по сопротивлению материалов» стр. 295, 297):

\[ w_{C} =\frac{P\cdot a^{2}\cdot b^{2}}{3\cdot E\cdot I\cdot \left( {a+b} \right)}+\frac{q\cdot a\cdot b^{3}\cdot \left( {4\cdot a+b} \right)}{24\cdot E\cdot I\cdot \left( {a+b} \right)}. \]

Угол поворота в точке B вычисляется по следующей формуле («Справочник по сопротивлению материалов» стр. 295, 297):

\[ \theta_{B} =\frac{P\cdot b\cdot \left( {2\cdot a^{2}+a\cdot b} \right)}{6\cdot E\cdot I\cdot \left( {a+b} \right)}-\frac{q\cdot b^{2}\cdot \left( {4\cdot a^{2}+4\cdot a\cdot b+b^{2}} \right)}{24\cdot E\cdot I\cdot \left( {a+b} \right)}. \]

Изгибающий момент в точке C вычисляется по следующей формуле:

\[ M_{C} =\frac{P\cdot a\cdot b}{a+b}+\frac{q\cdot a\cdot b^{2}}{2\cdot \left( {a+b} \right)}. \]

Поперечная сила в точке A вычисляется по следующей формуле:

\[ Q_{A} =\frac{P\cdot b}{a+b}+\frac{q\cdot b^{2}}{2\cdot \left( {a+b} \right)}. \]

Поперечная сила в точке B вычисляется по следующей формуле:

\[ Q_{B} =-\frac{P\cdot a}{a+b}-\frac{q\cdot \left( {2\cdot a+b} \right)\cdot b}{2\cdot \left( {a+b} \right)}. \]