Прямоугольная пластина в условиях постоянных напряжений на срединной поверхности

Patch_tests

Цель: Проверка точного воспроизведения условий постоянных напряжений на срединной поверхности прямоугольной пластины при нерегулярной крупной сетке конечных элементов.

Файлы с исходными данными:

Patch_test_Constant_stress_Shell_42.spr Расчетная модель с типом элементов 42
Patch_test_Constant_stress_Shell_44.spr Расчетная модель с типом элементов 44
Patch_test_Constant_stress_Shell_45.spr Расчетная модель с типом элементов 45
Patch_test_Constant_stress_Shell_50.spr Расчетная модель с типом элементов 50

 

Формулировка задачи: Прямоугольная изотропная пластина постоянной толщины подвергается воздействию смещений наружных кромок, обеспечивающих условия постоянных напряжений на срединной поверхности. Проверить: обеспечение условий постоянных нормальных σx, σy и касательных τxy напряжений на срединной поверхности.

Ссылки: R. H. Macneal, R. L. Harder, A proposed standard set of problems to test finite element accuracy, North-Holland, Finite elements in analysis and design, 1, 1985, p. 3-20.

J. Robinson, S. Blackham, An evaluation of lower order membranes as contained in MSC/NASTRAN, ASAS and PARFEC FEM system, Dorset, Robinson and associates, 1979.

Исходные данные:

E = 1.0·106 кПа - модуль упругости материала пластины;
ν = 0.25 - коэффициент Пуассона;
t = 0.001 м - толщина пластины;
a = 0.12 м - размер короткой стороны пластины;
b = 0.24 м - размер длинной стороны пластины;


Граничные условия:

u = 10-3∙(x + y/2) - смещение наружных кромок вдоль длинной стороны пластины;
v = 10-3∙(x/2 + y) - смещение наружных кромок вдоль короткой стороны пластины;


Расположение внутренних узлов сетки конечных элементов:

Номера узлов по рисунку 1

x

y

1

0.04

0.02

2

0.18

0.03

3

0.16

0.08

4

0.08

0.08

 

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида. Рассматриваются четыре расчетные модели:

 

Модель 1 - 10 трехузловых элементов оболочки типа 42. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ и смещения их в соответствии с заданными значениями u и v. Количество узлов в модели – 8.

Модель 2 - 5 четырехузловых элементов оболочки типа 44. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ и смещения их в соответствии с заданными значениями u и v. Количество узлов в модели – 8.

Модель 3 - 10 шестиузловых элементов оболочки типа 45. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ и смещения их в соответствии с заданными значениями u и v. Количество узлов в модели – 25.

Модель 4 - 5 восьмиузловых элементов оболочки типа 50. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ и смещения их в соответствии с заданными значениями u и v. Количество узлов в модели – 20

Результаты решения в SCAD

ScreenShot350
Модель 1. Расчетная схема

 

ScreenShot351
Модель 1. Деформированная схема

 

ScreenShot352
Модель 1. Значения нормальных напряжений σx (кН/м2)

 

ScreenShot353
Модель 1. Значения нормальных напряжений σy (кН/м2)

 

ScreenShot354
Модель 1. Значения касательных напряжений τxy (кН/м2)

 

ScreenShot355
Рис. 7 Модель 2. Расчетная схема

 

ScreenShot356
Модель 2. Деформированная схема

 

ScreenShot357
Модель 2. Значения нормальных напряжений σx (кН/м2)

 

ScreenShot358
Модель 2. Значения нормальных напряжений σy (кН/м2)

 

ScreenShot359
Модель 2. Значения касательных напряжений τxy (кН/м2)

 

ScreenShot360
Модель 3. Расчетная схема

 

ScreenShot361
Модель 3. Деформированная схема

 

ScreenShot362
Модель 3. Значения нормальных напряжений σx (кН/м2)

 

ScreenShot363
Модель 3. Значения нормальных напряжений σy (кН/м2)

 

ScreenShot364
Модель 3. Значения касательных напряжений τxy (кН/м2)

 

ScreenShot365
Модель 4. Расчетная схема

 

ScreenShot366
Модель 4. Деформированная схема

 

ScreenShot367
Модель 4. Значения нормальных напряжений σx (кН/м2)

 

ScreenShot368
Модель 4. Значения нормальных напряжений σy (кН/м2)

 

ScreenShot369
Модель 4. Значения касательных напряжений τxy (кН/м2)


Сравнение решений:

Модель

Параметр

Теория

SCAD

Отклонение, %

1

Нормальные напряжения

σx, кН/м2

1333

1333

0.00

Нормальные напряжения

σy, кН/м2

1333

1333

0.00

Касательные напряжения

τxy, кН/м2

400

400

0.00

2

Нормальные напряжения

σx, кН/м2

1333

1333

0.00

Нормальные напряжения

σy, кН/м2

1333

1333

0.00

Касательные напряжения

τxy, кН/м2

400

400

0.00

3

Нормальные напряжения

σx, кН/м2

1333

1333

0.00

Нормальные напряжения

σy, кН/м2

1333

1333

0.00

Касательные напряжения

τxy, кН/м2

400

400

0.00

4

Нормальные напряжения

σx, кН/м2

1333

1333

0.00

Нормальные напряжения

σy, кН/м2

1333

1333

0.00

Касательные напряжения

τxy, кН/м2

400

400

0.00


Замечания: При аналитическом решении нормальные σx, σy и касательные τxy напряжения на срединной поверхности пластины определяются по следующим формулам:

\[ \sigma_{x} =10^{-3}\cdot \frac{E}{1-\nu }; \quad \sigma_{y} =10^{-3}\cdot \frac{E}{1-\nu }; \quad \tau_{xy} =10^{-3}\cdot \frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)}. \]