Куб в условиях постоянных напряжений по объему

Цель: Проверка точного воспроизведения условий постоянных напряжений по объему куба при нерегулярной крупной сетке конечных элементов.

Использованная версия SCAD: 11.5
 

Файлы с исходными данными:

Название файла расчета

Описание файла расчета

Patch_test_Constant_stress_Solid_32.SPR

Расчетная модель с типом элементов 32

Patch_test_Constant_stress_Solid_34.SPR

Расчетная модель с типом элементов 34

Patch_test_Constant_stress_Solid_36.SPR

Расчетная модель с типом элементов 36

Patch_test_Constant_stress_Solid_37.SPR

Расчетная модель с типом элементов 37

Формулировка задачи: Единичный изотропный куб подвергается воздействию смещений наружных поверхностей, обеспечивающих условия постоянных напряжений по объему. Проверить: обеспечение условий постоянных нормальных σx, σy, σz и касательных τxy, τxz, τyz напряжений по объему.

Ссылки: R. H. Macneal, R. L. Harder, A proposed standard set of problems to test finite element accuracy, North-Holland, Finite elements in analysis and design, 1, 1985, p. 3-20.

Исходные данные:

E = 1.0·106 кПа - модуль упругости материала пластины;
ν = 0.25 - коэффициент Пуассона;
a = 1.00 м - размер ребра куба;
Граничные условия:  
u = 10-3∙(2∙x + y + z)/2 - смещение наружных поверхностей вдоль оси X общей системы координат;
v = 10-3∙(x + 2∙y + z)/2 - смещение наружных поверхностей вдоль оси Y общей системы координат;
w = 10-3∙(x + y + 2∙z)/2 - смещение наружных поверхностей вдоль оси Z общей системы координат;

 

Расположение внутренних узлов сетки конечных элементов:

Номера узлов

по рисунку 1

x

y

z

1

0.35

0.35

0.35

2

0.75

0.25

0.25

3

0.85

0.85

0.15

4

0.25

0.75

0.25

5

0.35

0.35

0.65

6

0.75

0.25

0.75

7

0.85

0.85

0.85

8

0.25

0.75

0.75

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида. Рассматриваются четыре расчетные модели:

Модель 1 - 42 элемента четырехузловой пирамиды типа 32. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных поверхностей куба по направлениям степеней свободы X, Y, Z и смещения их в соответствии с заданными значениями u, v, w. Количество узлов в модели – 16.

Модель 2 - 14 шестиузловых изопараметрических объемных элементов типа 34. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных поверхностей куба по направлениям степеней свободы X, Y, Z и смещения их в соответствии с заданными значениями u, v, w. Количество узлов в модели – 16.

Модель 3 - 7 восьмиузловых изопараметрических объемных элементов типа 36. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных поверхностей куба по направлениям степеней свободы X, Y, Z и смещения их в соответствии с заданными значениями u, v, w. Количество узлов в модели – 16.

Модель 4 - 7 двадцатиузловых изопараметрических объемных элементов типа 37. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных поверхностей куба по направлениям степеней свободы X, Y, Z и смещения их в соответствии с заданными значениями u, v, w. Количество узлов в модели – 48.

Результаты решения в SCAD


Модель 1. Расчетная и деформированная схемы


Модель 2. Расчетная и деформированная схемы


Модель 3. Расчетная и деформированная схемы


Модель 4. Расчетная и деформированная схемы


Значения для всех моделей нормальных напряжений σx, σy σz (кН/м2)


Значения для всех моделей касательных напряжений τxz, τxy, τyz (кН/м2)

Сравнение решений:

Модель

Параметр

Теория

SCAD

Отклонение, %

1-4

Нормальные напряжения

σx, кН/м2

2000

2000

0.00

Нормальные напряжения

σy, кН/м2

2000

2000

0.00

Нормальные напряжения

σz, кН/м2

2000

2000

0.00

Касательные напряжения

τxy, кН/м2

400

400

0.00

Касательные напряжения

τxz, кН/м2

400

400

0.00

Касательные напряжения

τyz, кН/м2

400

400

0.00

 

Замечания: При аналитическом решении нормальные σx, σy, σz и касательные τxy, τxz, τyz напряжения по объему куба определяются по следующим формулам:

\[ \sigma_{x} =10^{-3}\cdot \frac{E}{1-2\cdot \nu }; \quad \sigma_{y} =10^{-3}\cdot \frac{E}{1-2\cdot \nu }; \quad \sigma_{z} =10^{-3}\cdot \frac{E}{1-2\cdot \nu }; \] \[ \tau_{xy} =10^{-3}\cdot \frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)}; \quad \tau_{xz} =10^{-3}\cdot \frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)}; \quad \tau_{yz} =10^{-3}\cdot \frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)}. \]