Устойчивость консольного бруса квадратного поперечного сечения под действием равномерно распределенной нагрузки по продольной оси его верхней грани (прямой изгиб)

Цель: Определение критического значения равномерно распределенной нагрузки, действующей по продольной оси верхней грани консольного бруса квадратного поперечного сечения, соответствующего моменту потери его устойчивости.

Файлы с исходными данными:

Имя файла

Описание файла расчета

Stability_Bar_9_Bar.SPR

Стержневая расчетная модель

Stability_Bar_9_Shell.SPR

Оболочечная расчетная модель

Stability_Bar_9_Solid.SPR

Объемная расчетная модель

Формулировка задачи: Консольный брус квадратного поперечного сечения подвергается воздействию равномерно распределенной нагрузки q, действующей по продольной оси его верхней грани. Определить критическое значение равномерно распределенной нагрузки qcr, соответствующее моменту потери устойчивости консольного бруса.  

Ссылки: Тимошенко С.П., Устойчивость стержней, пластин и оболочек, Москва, Наука, 1971, стр.303

Исходные данные:

L = 10.0 м - длина консольного бруса;
h = b = 1.0 м - сторона квадратного поперечного сечения консольного бруса;
E = 3.0·107 кН/м2 - модуль упругости материала консольного бруса;
ν = 0.2 - коэффициент Пуассона;
q = 105 кН/м - начальное значение равномерно распределенной нагрузки, действующей по продольной оси верхней грани бруса.

 

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида. Рассматриваются три расчетные модели:

 

Стержневая модель (С), 10 элементов типа 5, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси полосы с шагом 1.0 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узел защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. К узлам бруса примыкают  11 двухузловых элементов типа 100 (трехмерное твердое тело), расположенных вертикально вверх с длиной, равной h/2. Воздействие с начальным значением равномерно распределенной нагрузки q задается в свободных узлах элементов твердого тела (повышенная точка приложения) в виде сосредоточенных сил P = q·b·1.0 = 105 кН (0.5·105 кН для крайних узлов). Количество узлов в расчетной схеме – 22;

Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина (П), 2560 восьмиузловых элементов типа 150, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси и высоте бруса с шагом 0.0625 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением равномерно распределенной по линии нагрузки q задается на верхних сторонах всех элементов бруса, расположенных под его верхней гранью. Количество узлов в расчетной схеме – 8033.

Объемная модель (О), 5120 двадцатиузловых элементов типа 37, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси, ширине и высоте бруса с шагом 0.125 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением равномерно распределенной по грани нагрузки qA = q/ b задается на верхних гранях всех элементов бруса, расположенных под его верхней гранью. Количество узлов в расчетной схеме – 24705.

Результаты решения в SCAD


Расчетная схема. Стержневая модель

 


Расчетная схема. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

 


Расчетная схема. Объемная модель

 


1-ая Форма потери устойчивости. Стержневая модель


1-ая Форма потери устойчивости. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

 


1-ая Форма потери устойчивости. Объемная модель

 

Сравнение решений:

Критическое значение равномерно распределенной нагрузки qcr, действующей по продольной оси верхней грани консольного бруса

Расчетная модель

Теория

SCAD

Отклонение, %

Стержневая

23737

0,236895∙105=23690

0,20

Оболочечная теории

Рейсснера-Миндлина

23737

0,233316∙105=23332

1,71

Объемная

23737

0,246094∙105=24609

3,67

Замечания: При аналитическом решении критическое значение равномерно распределенной нагрузки qcr, соответствующее моменту потери устойчивости консольного бруса определяется по следующей формуле:

\[ q=\frac{12,85\cdot \sqrt {E\cdot I_{z} \cdot G\cdot I_{x} } }{L^{3}}\cdot k_{h} \quad k_{h} =f\left( {\frac{h}{2\cdot L}\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I_{z} }{G\cdot I_{x} }} } \right) \quad G=\frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)} \]

\( I_{z} =\frac{h\cdot b^{3}}{12} \) – наименьший момент инерции изгиба (из плоскости действия момента);

\( I_{x} =k_{f} \cdot h\cdot b^{3} \) – момент инерции свободного кручения, где: