Консольный круговой стержень постоянного поперечного сечения под действием из его плоскости сосредоточенной силы на свободном конце

Цель: Определение напряженно-деформированного состояния консольного кругового стержня постоянного поперечного сечения от действия из его плоскости сосредоточенной силы на свободном конце.

Файл с исходными данными:

SSLL07_вариант_1_v11.3.spr Расчетная схема – система общего вида. Консольный круговой стержень расположен в плоскости XOZ общей системы координат
 

Формулировка задачи: Консольный круговой стержень постоянного поперечного сечения нагружается на свободном конце сосредоточенной силой F, действующей из его плоскости. Определить перемещение Y свободного конца стержня из его плоскости (точка B), а также крутящий Mx и изгибающий из плоскости Mz моменты для поперечного сечения, соответствующего центральному углу θ от защемленного конца.

Ссылки: S. Timoshenko, Strength of materials, Part 1: Elementary theory and problem, 3ed, 1955; R.J. Roark, Formulas for stress and strain, 4ed, New York, McGraw-Hill, 1965.

Исходные данные:

E = 2.0·1011  Па - модуль упругости консольного кругового стержня;
ν = 0.3 - коэффициент Пуассона;
r = 1.0 м - радиус дуги продольной оси консольного кругового стержня;
θ = 90º - центральный угол длины дуги продольной оси консольного кругового стержня;
de = 0.020 м - наружный диаметр кольцевого поперечного сечения стержня;
di = 0.016 м - внутренний диаметр кольцевого поперечного сечения стержня;
F = 100 Н - значение сосредоточенной силы.

 

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида, 15 стержневых элемента типа 10. Обеспечение граничных условий достигается: за счет наложения связей по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ (точка A). Количество узлов в расчетной схеме – 16.

Результаты решения в SCAD


Расчетная и деформированная схемы


Значения перемещений из плоскости стержня Y (м)


Эпюра крутящих моментов Мx (кН∙м)


Эпюра изгибающих моментов из плоскости стержня Мz (кН∙м)

 

Сравнение решений:

Параметр

Теория

SCAD

Отклонения, %

Перемещение из плоскости стержня Y (точка B), м

-1.34462·10-1

-1.34364·10-1

0.07

Крутящий момент Mx (θ = 15º), Н∙м

-74.118

-73.981

0.18

Изгибающий момент из плоскости стержня Mz (θ = 15º), Н∙м

-96.593

-96.593

0.00

 

Замечания: При аналитическом решении перемещение Y свободного конца стержня из его плоскости (точка B), а также крутящий Mx и изгибающий из плоскости Mz моменты для поперечного сечения, соответствующего центральному углу θ от защемленного конца, определяются по следующим формулам:

\[Y=\frac{F\cdot r^{3}}{E\cdot I}\cdot \left( {\frac{1+3\cdot \lambda }{2}\cdot \frac{\pi }{2}-2\cdot \lambda } \right), где: \] \[ I_{z} =\frac{\pi \cdot d_{e}^{4}}{64}\cdot \left( {1-\left( {\frac{d_{i} }{d_{e} }} \right)^{4}} \right), \quad \lambda =\frac{E\cdot I_{z} }{G\cdot I_{x} }=1+\nu \] (для кольцевого поперечного сечения); \[ M_{x} =F\cdot r\cdot \cos \left( \theta \right); \] \[ M_{z} =F\cdot r\cdot \left( {1-\sin \left( \theta \right)} \right). \]