Изгиб прямоугольной балки-стенки, жестко подвешенной по боковым сторонам, под действием равномерно распределенной нагрузки, расположенной на верхней стороне

Цель: Определение деформированного состояния прямоугольной балки-стенки, жестко подвешенной по боковым сторонам, от воздействия равномерно распределенной нагрузки, расположенной на верхней стороне.

Файл с исходными данными: KSLS01_v11.3.spr

Формулировка задачи: К верхней стороне прямоугольной балки-стенки, жестко подвешенной по боковым сторонам, приложена равномерно распределенная нагрузка p, действующая в плоскости балки-стенки по оси y. Определить компоненты тензора перемещений в декартовых координатах u(x,z) и v(x,z) для срединной поверхности балки-стенки в ее плоскости.

Ссылки: А.С. Калманок, Расчет балок-стенок, Москва, Госстройиздат, 1956.

Исходные данные:

E = 2.65·106 Па - модуль упругости;
ν = 0.15 - коэффициент Пуассона;
h = 0.1 м - толщина балки-стенки;
a = 1.6 м - длина пролета балки-стенки;
b = 1.6 м - высота балки-стенки;
p = 500.0 Н/м - равномерно распределенная нагрузка.

 

Конечноэлементная модель: Расчетная схема - плоская шарнирно-стержневая система, 200 элементов балки-стенки типа 21. Сетка конечных элементов разбита с шагом 0.08 м в направлениях осей x и z общей системы координат. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей по направлению степени свободы Z для боковой стороны и по направлению степени свободы X на оси симметрии. Количество узлов в расчетной схеме – 231.

Результаты решения в SCAD


Расчетная схема


Деформированная схема


Значения перемещений вдоль пролета балки-стенки u (м)


Значения перемещений по высоте балки-стенки v (м)

 

Сравнение решений:

Координаты

Перемещения u, м

Перемещения v, м

x

z

Теория

SCAD

Отклонения, %

Теория

SCAD

Отклонения, %

0.0

0.0

-0.719•10-3

-0.713•10-3

0.83

0.000•10-3

0.000•10-3

-

0.0

0.8

-0.220•10-3

-0.221•10-3

0.45

0.000•10-3

0.000•10-3

-

0.0

1.6

1.468•10-3

1.401•10-3

4.56

0.000•10-3

0.000•10-3

-

0.4

0.0

-0.508•10-3

-0.504•10-3

0.79

-0.672•10-3

-0.667•10-3

0.74

0.4

0.8

-0.148•10-3

-0.148•10-3

0.00

-0.950•10-3

-0.945•10-3

0.53

0.4

1.6

0.780•10-3

0.778•10-3

0.26

-2.032•10-3

-2.027•10-3

0.25

0.8

0.0

0.000•10-3

0.000•10-3

-

-0.950•10-3

-0.943•10-3

0.74

0.8

0.8

0.000•10-3

0.000•10-3

-

-1.326•10-3

-1.320•10-3

0.45

0.8

1.6

0.000•10-3

0.000•10-3

-

-2.510•10-3

-2.504•10-3

0.24

 

Замечания: При аналитическом решении компоненты тензора перемещений в декартовых координатах u(x,z) и v(x,z) для срединной поверхности балки-стенки в ее плоскости могут быть вычислены по следующим формулам:

\[
u\left( {x,z} \right)=-\frac{p\cdot b}{E\cdot h}\cdot
\sum\limits_{m=1}^{m=\infty } {\frac{a}{m\cdot \pi \cdot b}\cdot \left\{
{\left[ {2\cdot m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}\cdot sh\left( {m\cdot \pi \cdot
\frac{b}{a}} \right)} \right]\cdot \left[ {\left( {-2+\left( {1+\nu }
\right)\cdot m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}\cdot cth\left( {m\cdot \pi \cdot
\frac{b}{a}} \right)} \right)\cdot sh\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{b-z}{a}}
\right)-} \right.} \right.}
\]
\[
\left. {-\left( {1+\nu } \right)\cdot m\cdot \pi \cdot \frac{b-z}{a}\cdot
ch\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{b-z}{a}} \right)} \right]-\left[
{sh^{2}\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}} \right)+\left( {m\cdot \pi
\cdot \frac{b}{a}} \right)^{2}} \right]\cdot \left[ {\left( {-2+\left(
{1+\nu } \right)\cdot m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}\cdot cth\left( {m\cdot
\pi \cdot \frac{b}{a}} \right)} \right)\cdot sh\left( {m\cdot \pi \cdot
\frac{z}{a}} \right)} \right.-
\]
\[
\left. {-\left( {1+\nu } \right)\cdot m\cdot \pi \cdot \frac{z}{a}\cdot
ch\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{z}{a}} \right)} \right]-\left[
{sh^{2}\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}} \right)-\left( {m\cdot \pi
\cdot \frac{b}{a}} \right)^{2}} \right]\cdot \left[ {\left( {2\cdot \nu
+\left( {1+\nu } \right)\cdot m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}\cdot cth\left(
{m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}} \right)} \right)\cdot sh\left( {m\cdot \pi
\cdot \frac{z}{a}} \right)-} \right.
\]
\[
\left. {\left. {-\left( {1+\nu } \right)\cdot m\cdot \pi \cdot
\frac{z}{a}\cdot ch\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{z}{a}} \right)} \right]}
\right\} \cdot \frac{\left[ {1+\left( {-1} \right)^{m+1}} \right]\cdot
cos\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{x}{a}} \right)}{m\cdot \pi \cdot sh\left(
{m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}} \right)\cdot \left[ {sh^{2}\left( {m\cdot \pi
\cdot \frac{b}{a}} \right)-\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}}
\right)^{2}} \right]};
\]
\[
v\left( {x,z} \right)=\frac{p\cdot b}{E\cdot h}\cdot
\sum\limits_{m=1}^{m=\infty } {\frac{a}{m\cdot \pi \cdot b}\cdot \left\{
{\left[ {2\cdot m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}\cdot sh\left( {m\cdot \pi \cdot
\frac{b}{a}} \right)} \right]\cdot \left[ {\left( {1-\nu +\left( {1+\nu }
\right)\cdot m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}\cdot cth\left( {m\cdot \pi \cdot
\frac{b}{a}} \right)} \right)\cdot ch\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{b-z}{a}}
\right)-} \right.} \right.}
\]
\[
\left. {-\left( {1+\nu } \right)\cdot m\cdot \pi \cdot \frac{b-z}{a}\cdot
sh\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{b-z}{a}} \right)} \right]+\left[
{sh^{2}\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}} \right)+\left( {m\cdot \pi
\cdot \frac{b}{a}} \right)^{2}} \right]\cdot \left[ {\left( {1-\nu +\left(
{1+\nu } \right)\cdot m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}\cdot cth\left( {m\cdot
\pi \cdot \frac{b}{a}} \right)} \right)\cdot ch\left( {m\cdot \pi \cdot
\frac{z}{a}} \right)} \right.-
\]
\[
\left. {-\left( {1+\nu } \right)\cdot m\cdot \pi \cdot \frac{z}{a}\cdot
sh\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{z}{a}} \right)} \right]+\left[
{sh^{2}\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}} \right)-\left( {m\cdot \pi
\cdot \frac{b}{a}} \right)^{2}} \right]\cdot \left[ {\left( {3+\nu +\left(
{1+\nu } \right)\cdot m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}\cdot cth\left( {m\cdot
\pi \cdot \frac{b}{a}} \right)} \right)\cdot ch\left( {m\cdot \pi \cdot
\frac{z}{a}} \right)-} \right.
\]
\[
\left. {\left. {-\left( {1+\nu } \right)\cdot m\cdot \pi \cdot
\frac{z}{a}\cdot sh\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{z}{a}} \right)} \right]}
\right\} \cdot \frac{\left[ {1+\left( {-1} \right)^{m+1}} \right]\cdot
sin\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{x}{a}} \right)}{m\cdot \pi \cdot sh\left(
{m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}} \right)\cdot \left[ {sh^{2}\left( {m\cdot \pi
\cdot \frac{b}{a}} \right)-\left( {m\cdot \pi \cdot \frac{b}{a}}
\right)^{2}} \right]}.
\]