Сжатие и изгиб симметричного клина сосредоточенными силами, приложенными к его вершине (задача Мичелла)

Цель: Определение напряженного состояния симметричного клина единичной толщины в полярных координатах при сжатии и изгибе сосредоточенными силами, приложенными к его вершине.

Файл с исходными данными: 4_22.spr

Формулировка задачи: К вершине клина, толщина которого равна единице, приложены сжимающая сила P_x1, действующая по оси симметрии клина OX1, и изгибающая сила P_x2, представляющая собой кососимметричную нагрузку относительно оси симметрии клина OX1. Определить компоненты тензора напряжений в полярных координатах σ_rr, σ_θθ, σ_rθ на радиальном расстоянии r = 5.0 м от вершины клина.

Ссылки: С.П. Демидов, Теория упругости. — Москва: Высшая школа, 1979.

Исходные данные:

E = 3.0·107 кПа	- модуль упругости;
μ = 0.2	- коэффициент Пуассона;
h = 1.0 м	- толщина клина;
2·α = 30º	- угол при вершине клина;
R = 15.0 м	- радиус закрепленного конца клина;
Px1 = -5.0 кН	- сосредоточенная сила, сжимающая клин (горизонтальная);
Px2 = 5.0 кН	- сосредоточенная сила, изгибающая клин (вертикальная).

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида, элементы клина – 280 восьмиузловых элементов типа 50. Сетка конечных элементов разбита с шагом 0.5 м в радиальном направлении и с шагом 3º в тангенциальном направлении. Направление выдачи внутренних усилий – радиально-тангенциальное. Ввиду того, что на цилиндрической поверхности малого радиуса a у вершины клина сила P_x1 не может быть представлена как равнодействующая напряжений, распределенных по закону аналитического решения, приведенного ниже, острие клина моделируется твердым телом с ведущим узлом при вершине клина и ведомыми узлами на радиальном расстоянии a = 1.0 м от вершины клина. Так как на закрепленном конце клин не испытывает усилий, распределенных по закону аналитического решения, для получения точного решения на радиальном расстоянии r = 5.0 м от воздействия силы P_x2 радиальное расстояние до закрепленного конца принято равным R = 15.0 м. Количество узлов в расчетной схеме – 918.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема

Значения напряжений σ_rr (кН/м²) при воздействии сжимающей силы P_x1 и изгибающей силы P_x2

 

Значения напряжений σ_θθ (кН/м²) при воздействии сжимающей силы P_x1 и изгибающей силы P_x2

 

Значения напряжений σ_rθ (кН/м²) при воздействии сжимающей силы P_x1 и изгибающей силы P_x2

 

Сравнение решений:

Компоненты тензора напряжений на радиальном расстоянии r = 5.0 м от вершины клина при воздействии сжимающей силы P_x1.

Угол θ	Напряжения σrr (кН/м2)
	Теория	SCAD	Отклонения, %
-15º	-1.8873	-1.8845	0.15
0º	-1.9539	-1.9508	0.16
+15º	-1.8873	-1.8845	0.15

 

Угол θ	Напряжения σθθ (кН/м2)
	Теория	SCAD	Отклонения, %
-15º	0.0000	-0.0005	-
0º	0.0000	-0.0007	-
+15º	0.0000	-0.0005	-

 

Угол θ	Напряжения σrθ (кН/м2)
	Теория	SCAD	Отклонения, %
-15º	0.0000	-0.0498	-
0º	0.0000	0.0000	-
+15º	0.0000	0.0498	-

Компоненты тензора напряжений на радиальном расстоянии r = 5.0 м от вершины клина при воздействии изгибающей силы P_x2.

Угол θ	Напряжения σrr (кН/м2)
	Теория	SCAD	Отклонения, %
-15º	-21.9350	-21.9098	0.11
0º	0.0000	0.0000	-
+15º	21.9350	21.9098	0.11

 

Угол θ	Напряжения σθθ (кН/м2)
	Теория	SCAD	Отклонения, %
-15º	0.0000	-0.0086	-
0º	0.0000	0.0000	-
+15º	0.0000	0.0086	-

 

Угол θ	Напряжения σrθ (кН/м2)
	Теория	SCAD	Отклонения, %
-15º	0.0000	0.5314	-
0º	0.0000	0.0494	-
+15º	0.0000	-05314	-

 

Замечания: При аналитическом решении напряжения σ_rr, σ_θθ, σ_rθ в теле клина при воздействии сжимающей силы P_x1 определяются по следующим формулам (С.П. Демидов, Теория упругости. — Москва: Высшая школа, 1979, стр.273):

\[ \sigma_{rr} =\frac{2\cdot P\cdot \cos \theta }{r\cdot \left( {2\cdot \alpha +\sin \left( {2\cdot \alpha } \right)} \right)}; \quad \sigma_{\theta \theta } =0; \quad \sigma_{r\theta } =0. \]

При аналитическом решении напряжения σ_rr, σ_θθ, σ_rθ в теле клина при воздействии изгибающей силы P_x2 определяются по следующим формулам (С.П. Демидов, Теория упругости. — Москва: Высшая школа, 1979, стр. 275):

\[ \sigma_{rr} =\frac{2\cdot P\cdot \sin \theta }{r\cdot \left( {2\cdot \alpha -\sin \left( {2\cdot \alpha } \right)} \right)}; \quad \sigma_{\theta \theta } =0; \quad \sigma_{r\theta } =0. \]