Толстая квадратная в плане плита, шарнирно опертая по боковым граням, под действием поперечной нагрузки, распределенной по верхней грани по закону косинуса

test436

Цель: Определение напряженно-деформированного состояния толстой квадратной в плане плиты, шарнирно опертой по боковым граням, от действия поперечной нагрузки, распределенной по верхней грани по закону косинуса в соответствии с объемной задачей теории упругости.

Использованная версия SCAD: 21.1

Файлы с исходными данными:

Имя файла Описание файла расчета
4.36a_gamma_3.SPR Расчетная схема для толщины плиты 4 м (γ = a / h = 3)

Формулировка задачи: Толстая квадратная в плане плита шарнирно оперта по боковым граням и находится под воздействием поперечной нагрузки, распределенной по верхней грани по закону косинуса q·cos((π·x)/(2∙a))∙cos((π·y)/(2∙a)).

Определить:

  • распределение горизонтальных нормальных напряжений σx по толщине плиты z в ее центре
    (x = 0, y = 0);
  • распределение горизонтальных касательных напряжений τxy по толщине плиты z на ее боковом ребре
    (x = a, y = a);
  • значение вертикальных нормальных напряжений σz в центре плиты
    (x = 0, y = 0, z = 0);
  • значение вертикальных касательных напряжений τxz на середине боковой грани плиты
    (x = a, y = 0, z = 0);
  • распределение вертикальных перемещений z по толщине плиты z в ее центре
    (x = 0, y = 0);
  • распределение горизонтальных перемещений x по толщине плиты на середине ее боковой грани
    (x = a, y = 0, z = 0).

Ссылки: М.К. Усаров, Задача изгиба для толстой ортотропной пластины в трехмерной постановке, Magazine of Civil Engineering,  2011, № 4, стр. 40-47.

Исходные данные:

E = 1.0·105 тс/м102 - модуль упругости материала плиты;
υ = 0.3 - коэффициент Пуассона материала плиты;
2∙a = 30.0 м - длина стороны плиты;
2∙h = 10.0 м - толщина плиты;
q = 10.0 тс/м2 - амплитудное значение поперечной нагрузки, распределенной по верхней грани плиты по закону косинуса.

 

Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида, элементы плиты – 72000 объемных восьмиузловых изопараметрических элементов типа 36. Сетка конечных элементов плиты в плане и по толщине имеет шаг  0.5 м. Направление выдачи внутренних усилий сориентировано по осям общей системы координат. По узлам боковых граней плиты x = ± a установлены связи по линейным степеням свободы Y, Z; По узлам боковых граней плиты y = ± a установлены связи по линейным степеням свободы X, Z. Количество узлов в расчетной схеме – 78141.

 

Результаты решения в SCAD


Расчетная и деформированная схемы


Значения вертикальных перемещений z (мм)


Значения вертикальных перемещений z (мм) в центре плиты (x = 0, y = 0)


Значения горизонтальных перемещений x (мм)


Значения горизонтальных перемещений x (мм) на середине боковых граней плиты (x = ± a, y = 0, z = 0)


Значения горизонтальных нормальных напряжений σx (тс/м2)


Значения горизонтальных касательных напряжений τxy (тс/м2)


Значения вертикальных нормальных напряжений σz (тс/м2)


Значения вертикальных касательных напряжений τxz (тс/м2)

Сравнение решений:

z / h

σx , тс/м2 (x = y = 0)

τxy , тс/м2 (x = y = a)

Теория

SCAD

Отклонения, %

Теория

SCAD

Отклонения, %

1.0

-21.240

-21.591

1.65

9.129

9.098

0.34

0.0

-0.481

-0.479

0.42

-0.882

-0.881

0.11

-1.0

18.639

18.942

1.63

-10.036

-10.005

0.31

 

z / h

σz , тс/м2 (x = y = 0)

τxz , тс/м2 (x = a, y = 0)

Теория

SCAD

Отклонения, %

Теория

SCAD

Отклонения, %

0.0

-4.944

-4.939

0.10

7.023

6.996

0.38

 

z / h

z, мм (x = y = 0)

x, мм (x = a, y = 0)

Теория

SCAD

Отклонения, %

Теория

SCAD

Отклонения, %

1.0

-3.5963

-3.5887

0.21

-1.1333

-1.1299

0.30

0.0

-3.4906

-3.4832

0.21

0.1095

0.1095

0.00

-1.0

-3.1440

-3.1368

0.23

1.2459

1.2426

0.26

Замечания: При аналитическом решении горизонтальные нормальные напряжения σx по толщине плиты z в ее центре (x = 0, y = 0), горизонтальные касательные напряжения τxy по толщине плиты z на ее боковом ребре (x = a, y = a), вертикальные нормальные напряжения σz в центре плиты (x = 0, y = 0, z = 0), вертикальные касательные напряжения τxz на середине боковой грани плиты (x = a, y = 0, z = 0), вертикальные перемещения z по толщине плиты z в ее центре (x = 0, y = 0), горизонтальные перемещения x по толщине плиты на середине ее боковой грани (x = a, y = 0, z = 0) для υ = 0.3 и γ = a / h = 3 могут быть вычислены по следующим формулам:

 

\[ \frac{z}{h}=1.0: \quad \sigma_{x} =-2.1240\cdot q; \quad \tau_{xy} =-0.9129\cdot q; \quad \\ z=-3596.3\cdot \frac{q\cdot 2\cdot h}{E}; \quad x=-1133.3\cdot \frac{q\cdot 2\cdot h}{E}; \] \[ \frac{z}{h}=0.0: \quad \sigma_{x} =-0.0481\cdot q; \quad \tau_{xy} =-0.0882\cdot q \quad \sigma_{z} =-0.4944\cdot q; \quad \\ \tau_{xy} =0.7023\cdot q \quad z=-3490.6\cdot \frac{q\cdot 2\cdot h}{E}; \quad x=109.5\cdot \frac{q\cdot 2\cdot h}{E}; \] \[ \frac{z}{h}=-1.0: \quad \sigma_{x} =1.8639\cdot q; \quad \tau_{xy} =1.0036\cdot q; \quad z=-3144.0\cdot \frac{q\cdot 2\cdot h}{E}; \quad x=1245.9\cdot \frac{q\cdot 2\cdot h}{E}; \]