Двухвантовая мачта под действием статических нагрузок и сил предварительного натяжения

Цель: Определение напряженного состояния двухвантовой мачты от действия статических нагрузок и сил предварительного натяжения в физически нелинейной постановке.

Файл с исходными данными: Mast.spr

Формулировка задачи: Двухвантовая мачта с заделанным в опоре стволом и симметрично нисходящими от его вершины вантами под углом α к горизонту подвергается следующим воздействиям (в плоскости конструкции мачты):

  • В исходном состоянии ванты загружены равномерно распределенной поперечной нагрузкой qlg0 = qrg0 и предварительно напряжены силой H0;
  • В рабочем состоянии на ствол мачты действует равномерно распределенная нагрузка qm и момент в вершине Mm, на наветренную и подветренную ванты действуют равномерно распределенные нагрузки qlg и qrg, температура системы не меняется.

Определить продольные силы Nlg, Nrg и Nm в наветренной и в подветренной вантах и в стволе мачты, а также изгибающие моменты Mm в сечениях ствола мачты.

Ссылки: А. В. Перельмутер, Основы расчета вантово-стержневых систем, Стройиздат, 1969, стр. 61

Исходные данные:

EFg = 0.58·105 т - продольная жесткость вант;
EIm = 0.92·107 т∙м2 - изгибная жесткость ствола мачты;
S = 93.0 м - высота ствола мачты;
L = 115.5 м - длина хорды вант;
α = 45° - угол наклона вант к горизонту;
qlg0 = qrg0 = 22.75∙10-3∙cos(α) =16.087 т/м - равномерно распределенная поперечная нагрузка на ванты в исходном состоянии;
qlg = 37.40∙10-3 - qlg0/ cos(α) = 14.650 т/м - равномерно распределенная поперечная нагрузка на наветренную ванту в рабочем состоянии;
qrg = qrg0/ cos(α) - 8.10∙10-3 = 14.650 т/м - равномерно распределенная поперечная нагрузка на подветренную ванту в рабочем состоянии;
qm = 950.00∙10-3 т/м - равномерно распределенная поперечная нагрузка на ствол мачты в рабочем состоянии;
Mm = 401.00 т∙м - момент в вершине ствола мачты;
H0 = 19.40 т - силы предварительного напряжения вант.


Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида. Элементы ствола мачты – 93 стержневых элемента типа 5. Сетка конечных элементов разбита по высоте ствола мачты (вдоль осей X1 местных систем координат) с шагом 1.0 м. Жесткостные характеристики элементов ствола мачты:

EF = 1.00·108 т;          EIy = EIz = GIx = 0.92·107 т·м2.

Элементы вант – 2 вантовых элемента типа 308. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на опорные узлы вант по направлениям степеней свободы X, Z и на опорный узел ствола мачты по направлениям степеней свободы X, Z, UY.

Воздействия в исходном состоянии задаются через жесткостные характеристики вантовых элементов:

γ =  7.84483 т/м3 - объемный вес вант;
E = 2.00·107 т/м2 - модуль упругости материала вант;
ν = 0.3 - коэффициент Пуассона;
H0 = 19.40 т - силы предварительного напряжения вант;
D = 6.0675 см - наружный диаметр кольцевого поперечного сечения вант;
d = 0.0001 см - внутренний диаметр кольцевого поперечного сечения вант.


Для контроля значений внутренних усилий в исходном состоянии создается отдельное загружение с вертикальной сосредоточенной нагрузкой минимального значения P0 = 1.00∙10-4 т в вершине ствола мачты.

Воздействия в рабочем состоянии задаются в виде нагрузок:

  • поперечной равномерно распределенной в местной системе координат по оси Z1 на вантовые элементы;
  • поперечной равномерно распределенной в общей системе координат по оси X на элементы ствола мачты;
  • сосредоточенного момента вокруг оси Y общей системы координат на узел вершины ствола мачты.

Нелинейное загружение формировалось для простого шагового метода с коэффициентом загружения 0.1 и количеством шагов 10 для воздействий исходного состояния, с коэффициентом загружения 0.01 и количеством шагов 100 для воздействий рабочего состояния.

Количество узлов в расчетной схеме – 96.

Результаты решения в SCAD


Расчетная схема в исходном состоянии

 


Расчетная схема в рабочем состоянии

 


Деформированная схема в исходном состоянии

 


Деформированная схема в рабочем состоянии

 


Эпюры продольных сил в исходном состоянии (т)

 


Эпюры изгибающих моментов в исходном состоянии (т∙м)

 


Эпюры продольных сил в рабочем состоянии (т)

 


Эпюры изгибающих моментов в рабочем состоянии (т∙м)


Сравнение решений:

Параметр

Теория

SCAD

Отклонение, %

Nlg, т

52.769

52.774

0.01

Nrg, т

1.171

1.170

0.09

Nm, т

-38.142

-38.147

0.01

Mm(0), т∙м

1227.376

1224.539

0.23

Mm(S), т∙м

401.000

401.000

0.00

Sextr, м

55.853

56.000

-

Mm(Sextr), т∙м

-254.437

-251.868

1.01

 

Замечания: При аналитическом решении внутренние усилия в дважды статически неопределимой конструкции мачты определяются методом сил, при этом в качестве неизвестных принимаются распорные реакции X1 и X2 опорных узлов вант.

 

\[ {\begin{array}{*{20}c} {N_{\lg } =H_{0} +N_{\lg 1} \cdot X_{1} +N_{\lg q} ;} \\ {N_{rg} =H_{0} +N_{rg2} \cdot X_{2} +N_{rgq} ;} \\ {N_{m} =-2\cdot H_{0} \cdot \sin \left( \alpha \right)+N_{m1} \cdot X_{1} +N_{m2} \cdot X_{2} +N_{mq} ;} \\ {M_{m} \left( 0 \right)=M_{m1} \left( 0 \right)\cdot X_{1} +M_{m2} \left( 0 \right)\cdot X_{2} +M_{mq} \left( 0 \right);} \\ {M_{m} \left( S \right)=M_{m1} \left( S \right)\cdot X_{1} +M_{m2} \left( S \right)\cdot X_{2} +M_{mq} \left( S \right);} \\ {S_{extr} =S+\frac{q_{\lg } +q_{rg} }{q_{m} }\cdot L\cdot \sin \left( \alpha \right)+\frac{X_{1} -X_{2} }{q_{m} };} \\ {M_{m} \left( {S_{extr} } \right)=\frac{q_{m} }{2}\cdot S_{extr} ^{2}-\left[ {q_{m} \cdot S+\left( {q_{\lg } +q_{rg} } \right)\cdot L\cdot \sin \left( \alpha \right)+X_{1} -X_{2} } \right]\cdot S_{extr} +} \\ {\frac{q_{m} }{2}\cdot S^{2}+\left( {q_{\lg } +q_{rg} } \right)\cdot S\cdot L\cdot \sin \left( \alpha \right)+M_{m} +\left( {X_{1} -X_{2} } \right)\cdot S.} \\ \end{array} } \]

Значения неизвестных X1 и X2 определяются из решения системы линейных уравнений:

\[ \left. {{\begin{array}{*{20}c} {\left( {\frac{N_{\lg 1}^{2}\cdot L}{EF_{g} }+\frac{M_{m1}^{2}\left( 0 \right)\cdot S}{3\cdot EI_{m} }} \right)\cdot X_{1} +\frac{M_{m1} \left( 0 \right)\cdot M_{m2} \left( 0 \right)\cdot S}{3\cdot EI_{m} }\cdot X_{2} +\frac{N_{\lg 1} \cdot N_{\lg q} \cdot L}{EF_{g} }+} \\ {\frac{S}{6\cdot EI_{m} }\cdot \left( {M_{m1} \left( 0 \right)\cdot M_{mq} \left( 0 \right)+4\cdot M_{m1} \left( {\frac{S}{2}} \right)\cdot M_{mq} \left( {\frac{S}{2}} \right)+M_{m1} \left( S \right)\cdot M_{mq} \left( S \right)} \right)-} \\ {\frac{1}{2}\cdot N_{\lg 1} \cdot \left( {\frac{\left( {q_{\lg } +q_{\lg 0} } \right)^{2}\cdot L^{3}}{12\cdot \left( {H_{0} +N_{\lg q} +N_{\lg 1} \cdot X_{1} } \right)^{2}}-\frac{q_{\lg 0}^{2}\cdot L^{3}}{12\cdot H_{0}^{2}}} \right)=0} \\ {\frac{M_{m1} \left( 0 \right)\cdot M_{m2} \left( 0 \right)\cdot S}{3\cdot EI_{m} }\cdot X_{1} +\left( {\frac{N_{rg2}^{2}\cdot L}{EF_{g} }+\frac{M_{m2}^{2}\left( 0 \right)\cdot S}{3\cdot EI_{m} }} \right)\cdot X_{2} +\frac{N_{rg1} \cdot N_{rgq} \cdot L}{EF_{g} }+} \\ {\frac{S}{6\cdot EI_{m} }\cdot \left( {M_{m2} \left( 0 \right)\cdot M_{mq} \left( 0 \right)+4\cdot M_{m2} \left( {\frac{S}{2}} \right)\cdot M_{mq} \left( {\frac{S}{2}} \right)+M_{m2} \left( S \right)\cdot M_{mq} \left( S \right)} \right)-} \\ {\frac{1}{2}\cdot N_{rg2} \cdot \left( {\frac{\left( {-q_{rg} +q_{rg0} } \right)^{2}\cdot L^{3}}{12\cdot \left( {H_{0} +N_{rgq} +N_{rg2} \cdot X_{2} } \right)^{2}}-\frac{q_{rg0}^{2}\cdot L^{3}}{12\cdot H_{0}^{2}}} \right)=0} \\ \end{array} }} \right\}, \quad где: \] \[ N_{\lg 1} =-\frac{1}{\cos \left( \alpha \right)}; \quad N_{m1} =tg\left( \alpha \right); \] \[ M_{m1} \left( 0 \right)=1\cdot S; \quad M_{m1} \left( {\frac{S}{2}} \right)=\frac{S}{2}; \quad M_{m1} \left( S \right)=0\cdot S; \] \[ N_{rg2} =-\frac{1}{\cos \left( \alpha \right)}; \quad N_{m2} =tg\left( \alpha \right); \] \[ M_{m2} \left( 0 \right)=-1\cdot S; \quad M_{m2} \left( {\frac{S}{2}} \right)=-\frac{S}{2}; \quad M_{m2} \left( S \right)=-0\cdot S; \] \[ N_{\lg q} =-\frac{q_{\lg } \cdot L}{2}\cdot tg\left( \alpha \right); \quad N_{rgq} =\frac{q_{rg} \cdot L}{2}\cdot tg\left( \alpha \right); \] \[ N_{mq} =-\frac{\left( {q_{\lg } -q_{rg} } \right)\cdot L}{2}\cdot \frac{\cos \left( {2\cdot \alpha } \right)}{\cos \left( \alpha \right)}; \] \[ M_{mq} \left( 0 \right)=M_{m} +\frac{q_{m} \cdot S^{2}}{2}+\left( {q_{\lg } +q_{rg} } \right)\cdot S\cdot L\cdot \sin \left( \alpha \right); \] \[ M_{mq} \left( {\frac{S}{2}} \right)=M_{m} +\frac{q_{m} \cdot S^{2}}{8}+\frac{\left( {q_{\lg } +q_{rg} } \right)\cdot S\cdot L}{2}\cdot \sin \left( \alpha \right); \] \[ M_{mq} \left( S \right)=M_{m} . \]