Общие вопросы

В методе конечных элементов занимаемая конструкцией сплошная область Ω, которая имеет бесконечное число степеней свободы, аппроксимируется дискретной моделью, состоящей из совокупности подобластей (конечных элементов), имеющих конечное число степеней свободы и взаимодействующих между собой только в узловых точках.

Каждый конечный элемент (КЭ) Ω_e (e = 1,…, m) характеризуется следующими свойствами:

• размерностью используемого пространства (одномерное, двумерное, трехмерное);
• геометрической формой, которая чаще всего является одной из простейших геометрических фигур (отрезок прямой, треугольник, прямоугольник, четырехугольник, тетраэдр и т.п.);
• набором узлов, располагаемых (как правило, хотя и не всегда) на линиях (поверхностях) раздела элементов и являющихся общими для граничащих друг с другом элементов;
• набором используемых степеней свободы, отнесенных чаще всего к узлам (хотя и не обязательно к узлам) — перемещения, повороты и т.п.;
• правилами, определяющими зависимость между перемещениями узлов конечного элемента и узлами системы. Узлы элемента, например, могут быть прикреплены к узлам системы жестко или шарнирно;
• системой аппроксимирующих функций, определенных внутри области Ω_e и позволяющих приближенно выразить компоненты перемещений в любой точке элемента через его степени свободы;
• физическим законом, определяющим зависимость между внутренними усилиями и перемещениями;
• классом задач, к которым применим данный тип конечного элемента (КЭ пластины плоского напряженного состояния, КЭ плиты Кирхгофа-Лява, КЭ покоящейся на упругом двухпараметровом основании плиты Рейснера, стержень Тимошенко для пространственной задачи и т.д.);
• набором допустимых нагрузок и воздействий, которые могут быть приложены непо­сред­ственно к конечному элементу, и способом их задания;
• и последним (по списку, но не по значимости!) — перечнем ограничений и рекомендаций по применению.

Одной из важнейших характеристик конечно-элементной модели является максимальный диаметр элементов

\[ h=\max\limits_{e} \left( {\sup\limits_{x,y\in \Omega_{e} } \left| {x-y} \right|} \right) \]

с которым часто связывают оценки погрешности метода. Иначе говоря, h — это минимальный диаметр шара, в который можно вложить любой конечный элемент расчетной схемы. Кроме того, обычно предполагается, что при бесконечном уменьшении диаметра, т.е. при h → 0, соблюдаются следующие условия регулярности — в каждый конечный элемент можно вложить шар радиуса ρ ≥ Ch, где константа С не зависит от h. Это предохраняет от использования так называемых “игольчатых” элементов (слишком вытянутых прямоугольников, треугольников с очень малыми углами и т.п.).

Как правило, в методе конечных элементов (МКЭ) аппроксимирующие функции являются полиномиальными или кусочно-полиномиальными (метод подобластей), хотя и существуют элементы с дробно-рациональными (так называемые изопараметрические элементы), тригоно­метри­ческими, логарифмическими и другими аппроксимациями поля перемещений. Выбор степеней свободы элемента и соответствующих аппроксимирующих функций полностью определяет скорость сходимости и оценку погрешности МКЭ.

Если зафиксировать все параметры конечно-элементной расчетной модели, за исключением размера конечных элементов h, то можно представить, что, меняя этот размер, мы получим последовательность приближенных решений задачи u_h. Когда говорят о сходимости МКЭ, то имеют в виду, что эта последовательность устремляется к точному решению задачи u*, когда h → 0.

Представленная выше концепция конечно-элементного моделирования задачи базируется на том, что известно в литературе как применение h-элементов. Относительная простота такого представления допускает эффективное и прямое решение задачи расчета. В последние годы в некоторых программных системах (например, системы NASTRAN или StressCheck) получил признание иной тип конечного элемента — так называемый p-элемент. В отличие от h-элементов, p-элементы могут непосредственно представлять кривизну поверхности и особенности полей напряжений на более простых сетках, содержащих меньшее число элементов. Точность анализа управляется p-уровнем (порядком полинома), присвоенным каждому элементу: выше p-уровень — больше точность. При использовании h-элементов точность результата, как и время решения, возрастает за счет увеличения количества элементов. При использовании p-элементов тот же феномен происходит при повышении «порядка p».

Несмотря на многие положительные характеристики p-элементов, h-элементы имеют ряд пре­имуществ. Для анализа глобального поведения конструкции h-элементы могут оказаться пред­почтительней. Они также лучше представляют решение для задач, в которых есть разрывы напряжений, как, например, в оребренных пластинах, а также при решении нелинейных задач. Наконец, h-элементы связаны с детально отработанной вычислительной технологией, проверенной временем. Именно исходя из таких соображений библиотека конечных элементов SCAD представлена только h-элементами.