В теории метода конечных элементов большое внимание уделяется проблеме сходимости, т.е. асимптотическому поведению оценок точности получаемого приближенного решения при неограниченном сгущении сетки конечных элементов. Установлен ряд важных теорем о сходимости, например, для совместных элементов определено [15, с. 195–196], что если (k–1) является степенью полинома, с помощью которого внутри конечных элементов аппроксимируется перемещение и решается эллиптическая краевая задача порядка 2m, для которой получено приближенное решение в перемещениях uh, то ошибка в энергии по сравнению с точным решением u составляет
\[ U(u-u_h,u-u_h)\leq Ch^{2(k-m) }\| u\|_k^2, \]
где h — максимальное значение относительного размера элемента (шаг сетки).
Для s-х производных z имеем оценки ошибок:
\[ \|u-u_h\|_s \leq Ch^{k-s} \|u\|_k, \quad если \quad s>2m-k; \]
\[ \|u-u_h\|_s \leq Ch^{2(k-s)} \|u\|_k, \quad если \quad s\leq 2m-k \]
Для несовместных элементов аналогичные оценки получены в серии работ И.Д. Евзерова и В.С. Карпиловского (см., например [5, 8]).
Данные о значениях параметра сходимости дают возможность приблизительно назначить требуемую густоту сетки конечных элементов, исходя из такого весьма характерного рассуждения [2, с.55]: «...заметим лишь, что при естественных ограничениях на исходные данные и сетку области сходимость имеет место, и погрешность в определении напряжений и деформаций имеет порядок Сh/L, где через С обозначена константа, зависящая от формы области; h — шаг сетки; L — характерный размер области. Эта оценка служит ориентиром при назначении шага сетки в зависимости от желаемой точности (средней), например, задав точность приближенного решения 5%, нужно выбрать шаг сетки равным примерно 1/20 от характерного размера...», т.е. для характерного двумерного пятна необходимо иметь около 400 узлов, а в трехмерной задаче — примерно 8000.
При этом следует помнить, что приведенное выше рассуждение справедливо только в среднем и, кроме того, точность очень зависит не только от типа конечного элемента (констант С и k), но и от способа расположения конечных элементов и их ориентации по отношению к потокам основных напряжений. О последнем свидетельствует характерный пример, заимствованный из работы [7] и показанный на рисунке.
Различные схемы конечно-элементного разбиения и точность расчета
Следует также учитывать, что упомянутые выше оценки скорости сходимости ориентированы на выяснение асимптотических свойств решения, а практического расчетчика интересует степень близости приближенного решения, полученного на вполне определенной сетке конечных элементов. Конечно, в большинстве случаев асимптотическая сходимость сопровождается и приемлемой «практической сходимостью», под которой мы будем понимать возможность получения приемлемой точности при сравнительно грубом разбиении, но из этого правила есть и исключения. Приведем в связи с этим высказывание великого математика и физика А. Пуанкаре (цитируется по [1, с.52]):
«...из двух рядов, коих общие члены суть 1000n/n! и n!/1000n, математики назовут первый сходящимся... потому что миллионный член гораздо меньше 999 999-го, второй же ряд они рассматривают как расходящийся, ибо его общий член может беспредельно возрастать. Астрономы, наоборот, примут первый ряд за расходящийся, потому что первые его 1000 членов идут возрастая; второй ряд они сочтут за сходящийся, потому что первые его 1000 членов идут убывая, и в начале убывание весьма быстрое». И далее совершенно головокружительный вывод: «Оба воззрения законны: первое — в исследованиях теоретических, второе — в численных приложениях».
По-видимому, при решении любой достаточно ответственной задачи нельзя обойтись без анализа качества решения, которое можно проверить путем повторного рассмотрения задачи на другой сетке элементов. Конечно, большую задачу вряд ли стоит решать целиком на сгущающихся сетках, но очевидно, что выполнение такого анализа для характерных фрагментов расчетной схемы является рациональным. Эмпирически установленный факт устойчивости результата при сгущении сетки является весьма убедительным доводом в пользу правильности выбранного подхода к решению.
Сказанное не следует трактовать как призыв к голому эмпиризму, теоретические исследования сходимости весьма важны и их результаты могут быть использованы в практических целях, однако здесь имеются и некоторые серьезные проблемы, которые расчетчик должен учитывать. Одна из них состоит в том, что при удовлетворительной практической сходимости по перемещениям могут не так хорошо сходиться интересующие расчетчика внутренние усилия или напряжения. Они определяются дифференцированием перемещений, а операция дифференцирования является некорректной в том смысле, что незначительному изменению функции может отвечать значительное изменение производной.
Таким образом, проверки практической сходимости должны быть ориентированы на исследование тех результатов, которые требуются в решаемой задаче. Вот, например, характерная цитата из известной монографии О. Зенкевича: «Размеры разбиения, необходимого для получения приемлемой точности в задачах теории оболочек, зависят от многих причин. Часто оказывается, что при малой толщине оболочки область действия изгибающих моментов ограничена краевой зоной, где происходит значительное изменение этих моментов. При этом мембранные силы вычисляются точно даже при очень грубом разбиении, но, чтобы уловить изменение моментов вблизи границ, требуется крайне мелкое разбиение». [6, с.257].
При этом имеется определенная трудность в сопоставлении напряжений, полученных на сетках разной густоты, которая связана с тем, что напряжения зачастую определяются в центрах конечных элементов и нужно приложить определенные усилия для того, чтобы иметь возможность сопоставить напряжения в одинаковых точках.
Кроме того, при использовании некоторых типов конечных элементов (например, треугольные элементы с линейной аппроксимацией перемещений для решения плоской задачи теории упругости), поля напряжений имеют вид кусочно-постоянных функций, причем область их постоянства совпадает с треугольниками сетки. Значения напряжений, определенные с использованием этих элементов, очень меняются при переходе от элемента к элементу, поэтому обычно применяется осреднение напряжений по элементам звезды, и относят их к узловой точке. Сопоставления таких полей напряжений затрудняется еще и наличием операции осреднения.
Организация проверки практической сходимости должна учитывать, что решаемая задача может иметь неприятные особенности, связанные с некорректной идеализацией конструкции. Типичным примером является идеализация нагрузки в виде сосредоточенной силы (практически нереализуемая ситуация), с которой могут быть связаны такие свойства решения задачи, как появление уходящих в бесконечность решений (логарифмическая особенность прогиба пластины под сосредоточенной силой) и высокие градиенты поля напряжений.
Таким образом, проверку практической сходимости стоит организовать на примерах близких к практически интересующему расчетчика классу задач, но таких, для которых имеются точные решения. Тогда интерпретация результатов тестирования оказывается более содержательной. Некоторые задачи такого рода рассмотрены ниже.