Динамическая задача

Если нагрузки на систему меняются во времени, т. е. f = f(t), то следует полагать функциями времени также усилия и перемещения, что может потребовать введения в рассмотрение ускорений d²Z/dt² и скоростей dZ/dt. Когда возникающие при этом силы инерции J(t)=Md²Z/dt² не могут считаться пренебрежимо малыми по сравнению с нагрузками на систему и силами упругости, их следует учесть при формировании условий равновесия, которые примут вид дифференциальных уравнений

\[ {\rm {\bf M}}\frac{d^{2}{\rm {\bf Z}}}{dt^{2}}+{\rm {\bf KZ}}(t)={\rm {\bf {f}}}(t) \]

(12)

Матрица масс системы определяется как сумма матриц масс ее элементов с добавлением масс, связанных с инерционными свойствами частей сооружения не вошедшими в расчетную схему.

В программе SCAD матрица масс элемента может представлять собой согласованную матрицу или матрицу сосредоточенных масс:

согласованная матрица масс элемента вычисляется с использованием функций формы элемента и позволяет корректно учесть моменты инерции масс. Эти функции формы такие же, как и те, что используются при вычислении матрицы жесткости, отсюда и следует название «согласованная».
в матрице сосредоточенных масс масса каждого элемента распределена по его узлам. Другими словами, сосредоточенные массы, размещенные в узлах элемента, в совокупности представляют массу элемента.

Поэтому матрица сосредоточенных масс является диагональной все элементы которой, кроме диагональных, равны нулю. Такой подход является приближенным, но при достаточно густой сетке элементов он дает хорошие результаты.

Задача определения характеристик собственных колебаний системы (модальный анализ) заключается в нахождении условий, при которых ненагруженная система совершает гармонические колебания по закону

\[ \boldsymbol{Z}(t) \quad = \Psi sin(\omega t + \phi ). \]

(13)

В выражении (13) вектор Ψ характеризует форму собственных колебаний (соотношения между смещениями узлов); w — их частоту; φ — начальную фазу. Подстановка (13) в (12) с учетом того, что f(t) = 0 дает уравнение для собственных колебаний

\[ (\boldsymbol{K} - \omega^{\mathrm{2}}\boldsymbol{M}) \quad \Psi = 0, \]

(14)

нетривиальное решение которого существует лишь тогда, когда величины w_i (i = 1,...,n), называемые собственными частотами, обращают в нуль детерминант матрицы [K–w²M]. Соответствующие им формы собственных колебаний ψ_i вычисляются лишь с точностью до произвольного множителя. Этот множитель может быть назначен, например, таким образом, что максимальная компонента вектора ψ_i равна единице. Следует также отметить свойство ортогональности собственных векторов как относительно матрицы масс, так и относительно матрицы жесткости, т. е.

\[ \Psi _{\mathrm{i}}^{\mathrm{Т}}\boldsymbol{M}\Psi_{\mathrm{j}}= 0 \quad и \quad \Psi _{\mathrm{i}}^{\mathrm{Т}} {K} \Psi_{\mathrm{j}}= 0 \quad при \quad i \ne j. \]

(15)

При динамическом расчете число компонент вектора Z, с которыми связаны инерционные силы (количество динамических степеней свободы), зачастую бывает намного меньшим, чем при статическом расчете. Типичным примером могут служить повороты узлов, обычно оказывающие значительно меньшее динамическое влияние, чем их линейные смещения. В SCAD инерционные моменты, соответствующие поворотам узлов, и другие инерционные характеристики могут быть проигнорированы, однако это уже задает сам пользователь, формулируя задачу динамического расчета. Если часть инерционных составляющих нагрузки не учитывается, то, разделяя вектор ψ на подвектор ψ₀, для которого силы инерции равны нулю, и подвектор ψ_I, связанный с инерционными силами, можно записать систему (14) в виде

\[ \boldsymbol{K}_{\mathrm{00\thinspace }} \quad \Psi _{\mathrm{\thinspace 0}}+ \quad {K}_{\mathrm{01 }} \quad \Psi_{\mathrm{1 }}= \boldsymbol{0}; \] \[ \boldsymbol{K}_{\mathrm{10 }} \quad \Psi _{\mathrm{0\thinspace }}+ \quad \boldsymbol{K}_{\mathrm{11 }} \quad \Psi_{\mathrm{1\thinspace }}= \quad \omega ^{\mathrm{2}} \boldsymbol{M}_{\mathrm{1}} \quad \Psi _{\mathrm{1}}. \]

(16)

Из этой системы исключается подвектор ψ₀, и в результате указанной процедуры «статического уплотнения» размерность задачи модального анализа резко уменьшается и приобретает вид

\[ \left[ {\left( {K_{11} -K_{10} K_{00}^{-1} K_{01} } \right)^{-1}M_{1} -\lambda^{2}I} \right]\psi_{1} =0 \]

(17)

где I – единичная матрица, а λ = 1/w.

В качестве результатов модального анализа выдаются собственные числа λ_i и собственные векторы ψ_I задачи (17). С ними связаны круговая частота w = 1/λ (рад/с), циклическая частота θ = w/2π (Гц) и период Т = 1/θ.

В силу ортогональности форм собственных колебаний решение любой динамической задачи в виде разложения

\[ {\rm {\bf Z}}\mbox{(t)}=\sum\limits_i {y_{i} } \mbox{(t) }{\rm {\bf \Psi }}_{\mbox{i}} \]

(18)

ведет к распаду системы дифференциальных уравнений (12) на независимые относительно обобщенных координат y_i(t). Эти уравнения с учетом вводимого в них дополнительного члена, пропорционального скорости (с его помощью учитывается сопротивление движению), имеют вид

\[ \frac{d^{2}y_{i} }{dt^{2}} + 2\xi_{i} \omega_{i} \frac{dy_{i}}{dt} + \omega _{i}^{2}y_{i} = P_{i}(t)/M_{i}. \]

(19)

Обобщенные силы

\[ P_{i}(t) \quad = \quad \Psi^{T}_{i} \boldsymbol{f}(t); \]

(20)

массы

\[ M_{i} =\Psi_{i}^{T} M\Psi_{i} \]

(21)

и параметры затухания ξ_i совместно с начальными условиями y⁰_iи y'_i , получаемыми из Z⁰ = Z(0) и
Z' = dZ(0)/dt по формулам:

\[ y_{\mbox{i}}^{\mbox{0}} \mbox{ =} {\rm {\bf \Psi }}_{i}^{T} {\rm {\bf MZ}}^{\mbox{0}}; \quad {y}'_{i} \mbox{ =} {\rm {\bf \Psi }}_{i}^{T} {\rm {\bf M{Z}'}} \]

(22)

полностью определяют решение задачи. Это решение дается выражением

\[ y_{i} =e^{-\xi_{i} \omega_{i} t}\left( {\frac{y_{i}^{0} \xi_{i} \omega _{i} +y_{i}^{1} }{\omega_{Di} }\sin \omega_{Di} +y_{i}^{0} \cos \omega _{Di} } \right)+\frac{1}{\omega_{Di} M_{i} }\int\limits_0^t {P_{i} (\tau )} e^{-\xi_{i} \omega_{i} (t-\tau )}\sin \omega_{Di} (t-\tau )d\tau , \]

(23)

в котором первое слагаемое учитывает начальные условия, а второе — носит название интеграла Дюамеля.

Входящая в выражение (23) частота демпфированных колебаний

\[ \omega_{Di\thinspace }= \omega_{i\thinspace } (1 -- \xi _{I}^{\mathrm{2}})^{\mathrm{1/2}} \]

(24)

мало отличается от w_i при обычных значениях логарифмического декремента

\[ \delta \quad =\quad 2\pi \xi \omega / \omega_{D} \approx 2\pi \xi. \]

(25)

В большинстве случаев используется общее для всей системы (а не поэлементное) значение логарифмического декремента, что соответствует конструкциям, выполненным из одинакового материала и примерно с одинаковыми решениями узлов соединения. Исключением являются расчетные модели с большим и/или неоднородным демпфированием, например, такие, которые включают в себя подсистему грунтового основания. Этот случай учитывается лишь в варианте прямого интегрирования уравнений движения.