Широко известно, что плохо обусловленные матрицы жесткости часто появляются в тех случаях, когда в одном узле конечно-элементной модели сопрягаются элементы с резко отличными жесткостными параметрами. Покажем на простом примере, как можно интерпретировать такую ситуацию в терминах механики. Оказывается, что плохая обусловленность присуща «почти изменяемым» конструкциям.
На рис. 1 представлена формально неизменяемая система, матрица жесткости которой имеет вид
\[ \bf{K}=k\left( {{\begin{array}{*{20}c} {1+\alpha } & {-1} \\ {-1} & {1+\alpha } \\ \end{array} }} \right) \]
Собственные числа этой матрицы λ1 = α; λ2 = 2 + α, а число обусловленности
H = λ2/ λ1= 1 + 2/α.
При большой жесткости средней пружины по сравнению с жесткостью крайних пружин параметр α мал, и число H становится большим, что говорит о плохой обусловленности и возможной потере точности при решении уравнений с такой матрицей.
Рис. 1. Схема с плохо обусловленной матрицей жесткости
Нетрудно заметить, что механическое поведение рассматриваемой конструкции приближается к поведению изменяемой системы. Действительно, возможно перемещение средней пружинки как жесткого тела при пренебрежимо малом сопротивлении крайних пружинок. Их реакция ввиду приведенного соотношения жесткостей вызывает ничтожную деформацию средней компоненты системы. Если же изменить соотношение жесткостей на обратное, то матрица жесткости будет иметь число обусловленности H ≈ 1. В узле снова сходятся элементы с резко отличными жесткостями, но матрица жесткости хорошо обусловлена и соответствует теперь упругой конструкции (средней пружинке), присоединенной к земле практически недеформируемыми связями. Стоит заметить, что отыскание «почти изменяемости», основанной на сопоставлении порядков возможных деформаций, может свидетельствовать как о некотором пороке конструкции, так и о порочности ее моделирования.
|
Рис. 2. Ступенчатый стык |
Не останавливаясь на анализе первого случая, когда, по-видимому, конструктор должен изменить систему, заметим, что для второго случая часто удается найти достаточно простой выход из положения, когда элемент с резко завышенной жесткостью объявляется абсолютно жестким, и это свойство учитывается на уровне составления системы разрешающих уравнений путем введения соответствующих связей. Так, например, при расчете стержневых систем часто возникает необходимость учесть эксцентричность стыковки элементов в узлах (рис. 2, а). Вставка между узлами n и n+1 стержня с очень большой, но конечной жесткостью, как это представляется интуитивно возможным, приводит, как это было показано выше, к резкой потере точности вычислений за счет ухудшения обусловленности матрицы жесткости. |
Для обхода этой вычислительной трудности предусматривается возможность использовать бесконечно жесткие вставки по концам стержневых элементов. Тогда расчетная схема имеет только один узел, занимающий произвольное положение на прямой между узлом n и узлом n+1, и концевые сечения соседних элементов присоединяются к этому узлу через жесткие вставки. Потеря точности в этом случае не наблюдается.
Проще всего можно поступить, если этот единственный узел N совместить с узлом n или n+1, тогда абсолютно жесткая вставка появится только у одного из элементов. Платой за это упрощение является то, что внутренние усилия будут определены лишь на упругой части стержня.
Рис. 3. Ребристая плита
Использование абсолютно жестких вставок широко практикуется в тех случаях, когда рассматривается плита или оболочка, подкрепленная ребрами, эксцентрично расположенными по отношению к срединной поверхности. Если эти ребра моделируются стержневыми элементами, то учесть эксцентриситет легко и удобно, используя абсолютно жесткие вставки (рис. 4). При этом расчетные узлы располагаются на уровне срединной поверхности плиты. Можно, однако, расположить узлы на уровне центров тяжести ребер и воспользоваться опцией «смещение срединной плоскости пластин», что приведет к такому же эффекту. Такой прием удобен, например, в тех случаях, когда проектируется балочная клетка, часть которой перекрывается настилом. Необходимо отметить, что эксцентричность расположения ребер сказывается на результатах, относящихся к мембранной группе усилий, поэтому учет эксцентриситета в конструкции чисто изгибаемого типа (и набранной из соответствующих конечных элементов) ничего не дает.
Рис. 4. Использование абсолютно жестких вставок для учета размеров узлов
При расчете стержневых систем высота сечения обычно не превышает 1/8÷1/10 расстояния между узлами. Но встречаются конструкции, когда это отношение доходит до 1/5 или даже 1/3 (некоторые виды фундаментов под турбоагрегаты, диафрагмы зданий, гидротехнические сооружения и др.). В этом случае стержневая расчетная схема с точечными узлами, расположенными на пересечениях осей элементов, становится некорректной. Широко распространено предложение учитывать при этом реальные размеры «узлов», используя для этих целей стержневые элементы с бесконечно жесткими вставками. Пример такой схемы, построенной в соответствии с рекомендациями [3], дан на рис. 4.
Этот прием настолько давно используется, что расчетчики практически никогда не задают вопрос о правомерности использования гипотезы недеформируемости «узла». Вместе с тем он далеко не лишен смысла, что видно из рассмотрения результатов расчета модельной задачи (рис. 5).
|
|
|
Рис. 5. К анализу работы узла конечных размеров
В ее стержневой модели горизонтальные перемещения отсутствуют, и вертикальный стержень не изгибается. Более детальная расчетная схема указывает на наличие горизонтальных перемещений, которые возникают вследствие стеснения деформаций сжатия по линии сопряжения АБ. Поскольку на противоположной стороне «стойки» этого стеснения нет, то возникает неравномерность распределения напряжений, эквивалентная изгибу.
