В литературе, посвященной динамическим расчетам, различные авторы используют различные модели демпфирования, это же различие нашло себе применение в разных нормативных документах, где используются различные формы представления внутренних потерь, в частности:
Между этими параметрами существуют следующие соотношения (см. раздел 3 справочника [4]:
\[ \psi =2\delta ;\quad \gamma =\delta /\pi ;\quad \xi \approx \delta /\left( {2\pi } \right);\quad \delta =\pi \eta /\sqrt {1-\gamma^{2}/4} . \]
Необходимые значения этих параметров для конструкций различного типа можно получить в программе КУСТ, входящей в систему SCAD Office.
С учетом демпфирования уравнение динамического равновесия (12) приобретет вид
\[ {\rm {\bf M\ddot{{Z}}}}+{\rm {\bf C\dot{{Z}}}}+{\rm {\bf KZ}}(t)={\rm {\bf f}}(t) \] |
(26) |
Для матрицы демпфирования С в общем случае уже не выполняются условия ортогональности типа (15), и распад системы дифференциальных уравнений (26) на независимые относительно обобщенных координат yi(t) становится невозможным. Однако такое становится возможным при использовании гипотезы Рэлея о пропорциональном демпфировании
\[ {\rm {\bf C}}=\alpha \cdot {\rm {\bf M}}+\beta \cdot {\rm {\bf K}} \] |
(27) |
Здесь α, β – коэффициенты пропорциональности, причем слагаемое αM отвечает за демпфирование по нижним модам, а βK – по верхним.
Из разложения вектора перемещений по формам собственных колебаний следует:
\[ \alpha +\beta \omega_{i}^{2} =2\xi_{i} \omega_{i} ,\quad i=1,\;2, ... \;,N_{\bmod es} \] |
(28) |
Для нахождения неизвестных α, β воспользуемся уравнением (28) при i = 1, 2:
\[ \alpha =\frac{2\omega_{1} \omega_{2} \left( {\xi_{1} \omega_{2} -\xi _{2} \omega_{1} } \right)}{\omega_{2}^{2} -\omega_{1}^{2} }\;,\quad \beta =\frac{2\left( {\xi_{2} \omega_{2} -\xi_{1} \omega_{1} } \right)}{\omega _{2}^{2} -\omega_{1}^{2} } \] |
(29) |
где ω1, ω2 – первые две собственные циклические частоты [рад/с]; ξ1, ξ2 - модальное демпфирование для первой и второй форм собственных колебаний, заданное в процентах от критического демпфирования.
Предполагается, что ω2 > ω1 > 0 и ξ2 ≥ ξ1 > 0. В случае, когда ω2=ω1 или первые две частоты очень близки ((ω2 - ω1)/ω1<0.0001), принимается, что α=2ξ1ω1, а β=0.
Параметр α отвечает за затухание по низким модам, а β – по высоким. Важно учитывать и тот, и другой параметры. Часто принимается упрощение β = 0. При этом демпфирование по верхним модам оказывается существенно заниженным, поэтому динамическая реакция системы может быть существенно завышена (до 2-х раз и более).
Модели демпфирования, реализованные в методе разложения по формам собственных колебаний и при прямом интегрировании с использованием гипотезы Рэлея, вообще говоря, разные. Это видно, например, из неоднозначности нахождения параметров α, β из (29), поскольку, задавая разные значения пар индекса i, будем получать разные значения α, β. Однако для большинства практических задач метод разложения по формам собственных колебаний и методы прямого интегрирования дают близкие результаты, если и тот, и другой применены корректно.