При простых видах деформации, в частности, при одноосном напряженном состоянии, об опасности действующих напряжений судят, сопоставляя их с экспериментально устанавливаемой величиной (с пределом текучести для пластических материалов или с временным сопротивлением для хрупких тел). Для сложного напряженного состояния, характеризующегося главными напряжениями σ1, σ2 и σ3, обычно используется некоторая гипотеза (теория прочности) о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора. При этом предусматривается возможность сопоставления некоторого эквивалентного напряжения σe с пределом \( \sigma_{0}^{+} \), который соответствует простому одноосному растяжению. Условие невозникновения предельного состояния в материале записывается в виде
\[ \sigma_{e} =f\left( {\sigma_{1} ,\sigma_{2} ,\sigma_{3} ,k_{1} ,...,k_{n} } \right)\le \sigma_{0}^{+} , \]
где k1,...,kn — некоторые константы материала, которые могут и отсутствовать.
Приведем обозначения некоторых используемых констант:
\( \sigma_{0} =\frac{1}{3}(\sigma_{1} +\sigma_{2} +\sigma_{3} ) \) — среднее напряжение (гидростатическое давление);
\( \sigma_{i} =\sqrt {\frac{1}{2}\left[ {(\sigma_{1} -\sigma_{2} )^{2}+(\sigma_{2} -\sigma_{3} )^{2}+(\sigma_{3} -\sigma_{1} )^{2}} \right]} \) — интенсивность напряжений;
\( \sigma_{0}^{+} ,\,\;\,\sigma_{0}^{-} ,\,\,\;\tau_{0} \) — предельные напряжения материала, соответственно, при одноосном растяжении, одноосном сжатии и чистом сдвиге;
\[ \chi =\sigma_{0}^{+} /\sigma_{0}^{-} ; \quad \phi =\sigma_{0}^{+} /\tau_{0} ; \quad \psi =\sigma_{0}^{-} /\tau_{0} ; \quad \lambda =1/\sigma_{0}^{-} . \]
Иногда удобнее сопоставлять эквивалентное напряжение с пределом \( \sigma_{0}^{-} \), соответствующим сопротивлению образца материала при простом одноосном сжатии. Соответствующее эквивалентное напряжение обозначается как σS.
В комплексе реализовано четыре теории прочности, сведения о которых приведены в таблице 1. Все они относятся к изотропным материалам и условиям статического нагружения, когда история поведения конструкции не сказывается на формулировке условий разрушения.
Таблица 1
№ п/n |
Теории прочности |
Выражение для вычисления эквивалентного напряжения растяжения σe и сжатия σS |
Сфера применения |
|---|---|---|---|
1 |
Теория максимальных нормальных напряжений |
σe = σ1 σs = σ3 |
Для хрупких однородных материалов (керамика, стекло) |
2 |
Теория наибольших линейных деформаций |
σe = σ1 – μ (σ2 + σ3) σs = σ3 – μ (σ1 + σ2) |
Для хрупких материалов при простом сжатии |
3 |
Теория наибольших касательных напряжений |
σe = σ1 – σ3 σs = σe |
Для пластических материалов с малым упрочнением, для которых характерно появление локальных пластических деформаций в виде линий скольжения (отпущенная сталь) |
4 |
Теория октаэдрических касательных напряжений или удельной энергии формоизменения |
\[ \sigma_{e} =\sigma_{i} =\left\{ {\frac{1}{2} \left[ {(\sigma_{1} -\sigma_{2} )^{2}+ (\sigma_{2} -\sigma_{3} )^{2}+ (\sigma _{3} -\sigma_{1} )^{2}} \right]} \right\}^{1/2} \] σs = σe |
Для большинства пластических материалов (сталь, медь, никель) |