Плиты и оболочки

Для плит на срединной поверхности вычисляются следующие усилия:

моменты — M_x, M_y и M_xy;
перерезывающие силы — Q_x и Q_y.

Для оболочек вычисляются также напряжения: σ_x, σ_y и τ_xy. Тензор напряжений имеет вид:

\[ T_{\sigma } =\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {\sigma_{x} } & {\tau_{xy} } & 0 \\ {\tau_{xy} } & {\sigma_{y} } & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} }} \right], \]

(1.4)

так как касательные напряжения \( \tau_{xz} =1/5\,Q_{x} /h\,, \quad \tau_{yz} =1/5Q_{y} /h \) не учитываются.

Для каждой точки, в которой вычислены усилия, главные напряжения определяются на нижней (Н), срединной (С) и верхней (В) поверхностях. При этом

σ_x^B/H = σ_x ± 6M_x/h²,

σ_y^B/H = σ_y ± 6M_y/h²,
τ_xy^B/H = τ_xy ± 6M_xy/h²,

(1.5)

где h — толщина элемента.

Тогда главные площадки для верхней и нижней поверхностей параллельны, а главные напряжения определяются по формуле

\[ \sigma_{1,3} =\frac{\sigma_{x} +\sigma_{y} }{2}\pm \left[ {\left( {\frac{\sigma_{x} -\sigma_{y} }{2}} \right)^{2}+\tau_{xy}^{2} } \right]^{1/2}. \]

(1.6)

Положение главных площадок характеризуется углом наклона главного напряжения σ₁ к оси X₁

\[ \phi =arctg\frac{\sigma_{1} -\sigma_{x} }{\tau_{xy} }. \]

(1.7)

Если τ_xy = 0, то считается, что φ = 0, и в этом случае направления главных площадок совпадают с осями системы координат выдачи напряжений в элементе.