Рассматриваются колебания линейных дискретных систем со многими степенями свободы, полученные из любых континуальных или комбинированных систем после применения к ним процедуры дискретизации метода конечных элементов. При этом решается система обыкновенных дифференциальных уравнений
| \[ \left[ M \right]\left\{ {\ddot{{u}}} \right\}+\left[ K \right]\left\{ u \right\}=\left\{ 0 \right\}\, \] | (1) |
где {u} — вектор перемещений;
[M] — матрица массы;
[K] — матрица жесткости.
Вынужденные колебания линейной дискретной системы с сопротивлением, пропорциональным скорости (т.н. вязкое затухание по гипотезе Фойгта-Кельвина), описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений
| \[ [M]\{\ddot{{u}}\}+[C]\{\dot{{u}}\}+[K]\{u\}=\{F(t)\}\, \] | (2) |
где [C] — матрица диссипации энергии;
{F(t)} — вектор нагрузки.
В случае кинематического возмущения в качестве нагрузки выступают переносные силы инерции и система уравнений (2) записывается в виде
| \[ [M]\{\ddot{{u}}\}+[C]\{\dot{{u}}\}+[K]\{u\}=-\;[M]\{I\}\,\ddot{{x}}_{0} (t), \] | (3) |
где {u} — вектор относительных перемещений (например, в системе координат XOY, связанной с основанием);
{I} — вектор, компонентами которого являются косинусы углов между направлениями перемещений по координатам и вектором ускорения основания;
\( \ddot{{x}}_{0} (t) \) — ускорение основания.
Решение уравнения (3) отыскивается в виде разложения его по формам собственных колебаний системы (так называемая «модальная суперпозиция»)
| \[ \{u\}=\sum\limits_{j=1}^n {\{\Phi_{j} \}\,\Psi_{j} (t)} , \] | (4) |
где n — число степеней свободы системы (учитываемых собственных чисел и векторов);
Φj — j-я форма собственных свободных колебаний дискретной системы;
ψj(t) — неизвестные функции времени, которые необходимо определить.
Предположим, что для матрицы диссипации [С] выполняется условие
\[ \left\{ {\Phi_{i} } \right\}^{T}[C]\,\left\{ {\Phi_{j} } \right\}=\left\{ {\begin{array}{l} 0\,\;,\quad \quad i\ne j \\ 2\,\phi_{i} \omega_{i} \left\{ {\Phi_{i} } \right\}^{T}[M]\,\left\{ {\Phi_{i} } \right\}\;,\quad \quad i=j \\ \end{array}} \right.\quad , \]
где ωi — i-я собственная частота дискретной системы.
После подстановки (4) в (3) и умножения (3) на вектор {Φi}T для нахождения ψj(t) получаем дифференциальное уравнение
| \[ \ddot{{\Psi }}+2\,\phi_{i} \omega_{i} \dot{{\Psi }}_{i} +\omega_{i}^{2} \,\Psi_{i} =-D_{i} \,\ddot{{x}}_{0} \,(t)\, \] | (5) |
где \( D_{i} =\frac{\left\{ {\Phi_{i} } \right\}^{T}[M]\{I\}}{\left\{ {\Phi_{i} } \right\}^{T}[M]\left\{ {\Phi_{i} } \right\}}\,\,\ddot{{x}}_{0} (t). \)
Для определения инерционных нагрузок на конструкцию необходимо знать абсолютные ускорения ее точек:
\[ \left\{ {\ddot{{u}}_{a} } \right\}=\left\{ {\ddot{{u}}} \right\}+\{I\}\,\,\ddot{{x}}_{0} (t)=\sum\limits_{i=1}^n {\left\{ {{\kern 1pt}\Phi_{i} } \right\}\;} \,\left( {\ddot{{\Psi }}_{j} (t)+D_{i} \ddot{{x}}_{0} (t)} \right)=\sum\limits_{i=1}^n {\left\{ {{\kern 1pt}\Phi _{i} } \right\}} \;\ddot{{\Psi }}_{ja} (t). \]
Сейсмические колебания дискретных систем описываются системами дифференциальных уравнений с несколько более общим видом правой части:
| \[ [M]\{{\kern 1pt}\;\ddot{{u}}\}+[C]\{\;\,\dot{{u}}\}+[K]\{u\}=-\,\,[M]\,\;\,(\{\,\dot{{I}}_{x} \}\,\,\ddot{{x}}_{0} \,(t)\,\;+\,\,\{\,\dot{{I}}_{y} \}\,\ddot{{y}}_{0} \,(t)\,\,+\,\,\{\,\dot{{I}}_{z} \}\,\ddot{{z}}_{0} \,(t), \] |
где \( \ddot{{x}}_{0} (t)\,,\;\;\ddot{{y}}_{0} (t) \quad и \quad \ddot{{z}}_{0} (t) \) — компоненты расчетной акселерограммы.
Если какая-либо из компонент не учитывается, то соответствующая часть нагрузки из (6) исключается.