Расчет плиты плоского монолитного перекрытия на продавливание

1 - точка приложения силы N; 2 - центр тяжести незамкнутого контура; 3 - незамкнутый контур расчетного сечения

Цель: Проверка режима расчета на продавливание.

Задача: Проверить правильность анализа прочности на продавливание бетонного элемента при действии сосредоточенной силы и изгибающего момента в случае расположения площадки приложения нагрузки у края плиты.

Ссылки: Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры (к СП 52-101-2003), 2005, с. 140-142.

Имя файла с исходными данными:

Example 41.SAV;
отчет:
при расчете по СНиП 52-01-2003 – Arbat 41.1.doc,
при расчете по СП 63.13330.2012 – Arbat 41.2.doc.

Соответствие нормативным документам: СНиП 52-101-2003, СП 63.13330.2012.

Исходные данные из источника:

h = 230 мм	Толщина плиты
a×b = 500×400 мм	Размеры сечения колонн
N = 150 кН	Нагрузка, передающаяся с перекрытия на колонну
M_sup = 80 кН∙м	Момент в сечении колонны по верхней грани плиты
M_inf = 90 кН∙м	Момент в сечении колонны по нижней грани плиты
x₀= 500 мм	Расстояние от центра сечения колонны до свободного края плиты
Класс бетона	В25

Исходные данные АРБАТ:

Коэффициент надежности по ответственности γ_n = 1
Площадка приложения нагрузки расположена у свободного края элемента

a = 0,5 м
b = 0,4 м
c = 0,25 м
d = 4 м

Рабочая высота сечения для продольной арматуры
вдоль оси X - 0,2 м
вдоль оси Y - 0,2 м

Бетон:

Вид бетона: Тяжелый
Класс бетона: B25

Коэффициенты условий работы бетона
γ_b1	учет нагрузок длительного действия	1
γ_b2	учет характера разрушения	1
γ_b3	учет вертикального положения при бетонировании	1
γ_b4	учет замораживания/оттаивания и отрицательных температур	1

Нагрузки:

	P	M_x	M_y
	кН	кН*м	кН*м
1	150	0	170

Усилия:

P = 150 кН
M_x = 0 кН*м
M_y = 170 кН*м

Сравнение решений (по СП 52-101-2003)

Файл отчета	Arbat 41.1.doc
Проверка	прочность на продавливание бетонного элемента при действии сосредоточенной силы и изгибающих моментов с векторами вдоль осей X,Y	прочность на продавливание по незамкнутому контуру бетонного элемента при действии сосредоточенной силы и изгибающих моментов (в том числе дополнительных от внецентренного приложения силы относительно контура продавливания) с векторами вдоль осей X,Y (площадка приложения у края плиты)
Пособие	203,4/210 = 0,969	202,2/210 = 0,963
АРБАТ	0,549	0,621
Отклонение, %	43,4%	35,5%
Аналитическое решение (см. ниже)	0,550	0,622
Отклонение, %	0,1 %	0,1 %

Сравнение решений (по СП 63.13330.2012)

Файл отчета	Arbat 41.2.doc
Проверка	прочность на продавливание бетонного элемента при действии сосредоточенной силы и изгибающих моментов с векторами вдоль осей X,Y	прочность на продавливание по незамкнутому контуру бетонного элемента при действии сосредоточенной силы и изгибающих моментов (в том числе дополнительных от внецентренного приложения силы относительно контура продавливания) с векторами вдоль осей X,Y (площадка приложения у края плиты)
Пособие	203,4/210 = 0,969	202,2/210 = 0,963
АРБАТ	0,413	0,466
Аналитическое решение (см. ниже)	0,412	0,466
Отклонение, %	0,1 %	0 %

Комментарии:

В Пособии при расчете задачи принята усредненная рабочая высота плиты равной h₀ = 200 мм. Это значение использовано в АРБАТ.
В АРБАТ используется значение суммы моментов M_sup и M_inf по верхней и по нижней граням плиты. Таким образом, M = 80 + 90 = 170 кН∙м.
Расстояние от края приложения нагрузки до свободного края плиты с равно разнице между расстоянием от центра сечения колонны до свободного края плиты и половиной размера сечения колонны в данном направлении: с = x₀ – а/2 = 0,5 – 0,5/2 = = 0,25 м.
Для анализа случая расположения площадки передачи нагрузки (колонны) у края плоского элемента (плиты перекрытия) в АРБАТ необходимо задать одно из значений расстояния от края приложения нагрузки до свободного края плиты большим, чем утроенная рабочая высота плиты. Таким образом, d = 4 м > 3h₀ = 0,6 м.
Столь значительные различия полученных факторов с решением из Пособия обусловлено следующими причинами:
- в нормах указано, что при расчетах принимают наименьшие значения моментов сопротивления W_bx, определенных из формул:
  \[ \mbox{W}_{bx} =\frac{\mbox{I}_{bx} }{\mbox{x}_{0} } \quad и \quad \mbox{W}_{bx} =\frac{\mbox{I}_{bx} }{\mbox{L}_{x} \mbox{-x}_{0} }. \]
  
  В данной задаче меньшим является значение, определенное по первой формуле, поскольку _х0 = 0,5 + 0,0359 = 0,5359 м > L_x – х₀ = 0,85 – 0,5359 = 0,3141 м (здесь х₀ – положение центра тяжести расчетного незамкнутого контура в направлении оси Х). Таким образом, в АРБАТ использовано значение W_bx, определенное по первой формуле. В Пособии же использовано значение, определенное по второй формуле;
- при проверке условий прочности в Пособии не учтено положение норм, согласно которому при действии сосредоточенных моментов и силы соотношение между действующими сосредоточенными моментами М, учитываемыми при продавливании, и предельными M_ult принимают не более соотношения между действующим сосредоточенным усилием F и предельным F_ult (п. 6.2.46 СНиП 52-101-2003) и не более половины соотношения между действующим сосредоточенным усилием F и предельным F_ult (п. 8.1.46 СП 63.13330.2012).

6. Аналитическое решение приведено ниже.

Аналитическое решение

1 – замкнутый расчетный контур №1, 2 – незамкнутый расчетный контур №2, 3 – незамкнутый расчетный контур №3.

В данном случае необходимо проверить прочность трех контуров расчетного поперечного сечения:

контур №1 – замкнутый контур вокруг сечения колонны на расстоянии 0,5h₀ от контура колонны;

контур №2 – незамкнутый контур вокруг сечения колонны на расстоянии 0,5h₀ от контура колонны с продлением контура до свободного края плиты;

контур №3 – незамкнутый контур вокруг сечения колонны на расстоянии 1,5h₀ от контура колонны (контура поверочного расчета без учета арматуры).

Замкнутый контур №1:

L_x = A_x + h₀ = 500 + 200 = 700 мм = 0,7 м,

L_y = A_y + h₀ = = 400 + 200 = 600 мм = 0,6 м,

Периметр расчетного контура поперечного сечения:

u = 2(L_x = L_y) = 2 (0,7 + 0,6) = 2,6 м.

Площадь расчетного контура поперечного сечения:

A_b = uh₀ = 2,6 × 0,2 = 0,52 м².

Предельное усилие, воспринимаемое бетоном:

F_b,ult = R_btA_b = 1,05 × 10³ × 0,52 = 546 кН.

Момент инерции расчетного контура относительно оси Х, проходящей через его центр тяжести:

\[ I_{bx} =2\frac{L_{y}^{3} }{12}+2L_{x} \left( {\frac{L_{y} }{2}} \right)^{2}= \quad 2\frac{0,6^{3} }{12}+2\cdot 0,7\left( {\frac{0,6}{2}} \right)^{2}=\quad 0,162 \quad м^{3}. \]

Момент сопротивления расчетного контура бетона

\[ W_{bx} =\frac{I_{bx} }{y_{\max } }= \quad \frac{0,162}{0,3}=\quad 0,54 \quad м^{2}. \]

Момент инерции расчетного контура относительно оси Y, проходящей через его центр тяжести:

\[ I_{by} =2\frac{L_{x}^{3} }{12}+2\cdot L_{y} \left( {\frac{L_{x} }{2}} \right)^{2}= \quad 2\frac{0,7^{3} }{12}+2\cdot 0,6\left( {\frac{0,7}{2}} \right)^{2}=\quad 0,204 \quad м^{3}. \]

Момент сопротивления расчетного контура бетона

\[ W_{by} =\frac{I_{by} }{x_{\max } }= \quad \frac{0,204}{0,35}=\quad 0,583 \quad м^{2}. \]

Изгибающий момент, который может быть воспринят бетоном в расчетном поперечном сечении:

M_bx,ult= R_btW_bxh₀ = 1,05 × 10³ × 0,54 × 0,2 = 113,4 кНм.

M_by,ult= R_btW_byh₀ = 1,05 × 10³ × 0,583 × 0,2 = 122,4 кНм.

Для СНиП 52-101-2003:

\( \frac{M_{x} }{M_{bx,ult} }\le \frac{F}{F_{b,ult} }; \quad \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }\le \frac{F}{F_{b,ult} } \] \( \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }=\frac{85}{122,4}=0,694\le \frac{F}{F_{b,ult} }=\frac{150}{546}=0,275 \) – условие не выполняется.

Принимаем

\[ \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }=\frac{F}{F_{b,ult} }=0,275 \]

Прочность плиты при продавливании:

\[ K_{1} =\left[ {\frac{F}{F_{b,ult} }} \right.+\left. {\frac{M_{x} }{M_{bx,ult} }+\frac{M_{y} }{M_{by,ult} }} \right]\le 1,0 \]

\[ K_{1} = 0,275 + 0 + 0,275 = 0,55 \]

Для СП 63.13330.2012:

\[ \frac{M_{x} }{M_{bx,ult} }+\frac{M_{y} }{M_{by,ult} }\le 0,5\frac{F}{F_{b,ult} } \]

\( \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }=\frac{85}{122,4}=0,694\le 0,5\frac{F}{F_{b,ult} }=\frac{150}{546}=0,5\cdot 0,275=0,1375 \) – условие не выполняется.

Принимаем

\[ \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }=\frac{F}{F_{b,ult} }=0,1375 \]

Прочность плиты при продавливании:

\[ K_{1} =\left[ {\frac{F}{F_{b,ult} }} \right.+\left. {\frac{M_{x} }{M_{bx,ult} }+\frac{M_{y} }{M_{by,ult} }} \right]\le 1,0 \]

\[ K_{1} = 0,275 + 0 + 0,1375 = 0,413\]

Незамкнутый контур №2:

L_x = A_x +h₀ + 150 = 500 + 200 + 150 = 850 мм = 0,85 м,

L_y = A_y +h₀= 400 + 200 = 600 мм = 0,6 м,

Периметр расчетного контура поперечного сечения:

u = 2L_x +L_y = 2 × 0,85 + 0,6 = 2,3 м.

Площадь расчетного контура поперечного сечения:

A_b = uh₀2,3 × 0,2 = 0,46 м².

Координата Х центра тяжести незамкнутого контура относительно левого края плиты:

\[ X=\frac{425\cdot 850\cdot 2+850\cdot 600}{850\cdot 2+600}=535,869 \quad мм \]

Предельное усилие, воспринимаемое бетоном:

F_b,ult = R_btA_b =1,05 × 10³ × 0,46 = 483 кН.

Момент инерции расчетного контура относительно оси Х, проходящей через его центр тяжести:

\[ I_{bx} =\frac{L_{y}^{3} }{12}+2L_{x} \left( {\frac{L_{y} }{2}} \right)^{2}= \quad \frac{0,6^{3} }{12}+2\cdot 0,85\left( {\frac{0,6}{2}} \right)^{2}=\quad 0,171 \quad м\quad^{3}. \]

Момент сопротивления расчетного контура бетона

\[ W_{bx} =\frac{I_{bx} }{y_{\max } }= \quad \frac{0,171}{0,3}=\quad 0,57 \quad м^{2}. \]

Момент инерции расчетного контура относительно оси Y, проходящей через его центр тяжести:

\[ I_{by} =2\frac{L_{x}^{3} }{12}+2L_{x} (0,075+0,035869)^{2}+L_{y} \left( {0,35-0,035869} \right)^{2}= 2\frac{0,85^{3} }{12}+2\cdot 0,85(0,075+0,035869)^{2}+0,6\left( {0,35-0,035869} \right)^{2}=0,183 \quad м^{3}. \]

Момент сопротивления расчетного контура бетона

\[ W_{by} =\frac{I_{by} }{x_{\max } }= \frac{0,183}{0,535869}= 0,341 \quad м^{2}. \]

Изгибающий момент, который может быть воспринят бетоном в расчетном поперечном сечении:

M_bx,ult = R_btW_bxh₀= 1,05 × 10³ × 0,57 × 0,2 = 119,7 кНм.

M_by,ult = R_btW_byh₀= 1,05 × 10³ × 0,341 × 0,2 = 71,6 кНм.

M_y = M_y - Fe₀= 85 – 150 × 0,035869 = 85 – 5,38 = 79,62 кНм.

Для СНиП 52-101-2003:

\[ \frac{M_{x} }{M_{bx,ult} }\le \frac{F}{F_{b,ult} }; \quad \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }\le \frac{F}{F_{b,ult} } \]

\( \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }=\frac{79,62}{71,6}=1,112\le \frac{F}{F_{b,ult} }=\frac{150}{483}=0,311 \) – условие не выполняется.

Принимаем

\[ \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }=\frac{F}{F_{b,ult} }=0,311 \]

Прочность плиты при продавливании:

\[ K_{1} =\left[ {\frac{F}{F_{b,ult} }} \right.+\left. {\frac{M_{x} }{M_{bx,ult} }+\frac{M_{y} }{M_{by,ult} }} \right]\le 1,0 \] \[ K_{1} \quad = \quad 0,311+0+0,311 = 0,622 \]

Для СП 63.13330.2012:

\[ \frac{M_{x} }{M_{bx,ult} }+\frac{M_{y} }{M_{by,ult} }\le 0,5\frac{F}{F_{b,ult} } \]

\( \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }=\frac{79,62}{71,6}=1,112\le 0,5\frac{F}{F_{b,ult} }=\frac{150}{483}=0,5\cdot 0,311=0,155 \) – условие не выполняется.

Принимаем

\[ \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }=\frac{F}{F_{b,ult} }=0,155 \]

Прочность плиты при продавливании:

\[ K_{1} =\left[ {\frac{F}{F_{b,ult} }} \right.+\left. {\frac{M_{x} }{M_{bx,ult} }+\frac{M_{y} }{M_{by,ult} }} \right]\le 1,0 \] \[ K_{1} \quad = 0,311 + 0 + 0,155 = 0,466 \]

Незамкнутый контур №3:

L_x = A_x + 2 × 1,5h₀ = 500 + 1,5 × 200 + 250 = 1050 мм = 1,05 м,

L_y = A_y + 2 × 1,5h₀ = 400 + 2 × 1,5 × 200 = 1000 мм = 1,0 м,

Периметр расчетного контура поперечного сечения:

u = 2L_x + L_y = 2 × 1,05 + 1,0 = 3,1 м.

Площадь расчетного контура поперечного сечения:

A_b = uh₀ = 3,1 × 0,2 = 0,62 м².

Координата Х центра тяжести незамкнутого контура относительно левого края плиты:

\[ X=\frac{525\cdot 1050\cdot 2+1050\cdot 1000}{1050\cdot 2+1000}=694,355 \quad мм \]

Предельное усилие, воспринимаемое бетоном:

F_b,ult = R_btA_b = 1,05 × 10³ × 0,62 = 651 кН.

Момент инерции расчетного контура относительно оси Х, проходящей через его центр тяжести:

\[ I_{bx} =\frac{L_{y}^{3} }{12}+2L_{x} \left( {\frac{L_{y} }{2}} \right)^{2}= \quad \frac{1,05^{3} }{12}+2\cdot 1,05\left( {\frac{1,0}{2}} \right)^{2}=\quad 0,608 м^{3}. \]

Момент сопротивления расчетного контура бетона

\[ W_{bx} =\frac{I_{bx} }{y_{\max } }= \quad \frac{0,608}{0,5}=\quad 1,217 м^{2}. \]

Момент инерции расчетного контура относительно оси Y, проходящей через его центр тяжести:

\[ I_{by} =2\frac{L_{x}^{3} }{12}+2L_{x} (0,194355-0,025)^{2}+L_{y} \left( {1,05-0,694355} \right)^{2}= 2\frac{1,05^{3} }{12}+2\cdot 1,05(0,194355-0,025)^{2}+1,0\left( {1,05-0,694355} \right)^{2}=0,38 \quad м^{3}. \]

Момент сопротивления расчетного контура бетона

\[ W_{by} =\frac{I_{by} }{x_{\max } }= \quad \frac{0,38}{0,694355}=\quad 0,547 \quad м^{2}. \]

Изгибающий момент, который может быть воспринят бетоном в расчетном поперечном сечении:

M_bx,ult = R_btW_bxh₀= 1,05 × 10³ × 1,217 × 0,2 = 255,57 кНм.

M_by,ult = R_btW_byh₀=1,05 × 10³ × 0,547 × 0,2 = 114,87 кНм.

M_y = M_y – Fe₀=85 – 150 × 0,194355 = 85 – 29,15 = 55,85 кНм.

Для СНиП 52-101-2003:

\[ \frac{M_{x} }{M_{bx,ult} }\le \frac{F}{F_{b,ult} }; \quad \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }\le \frac{F}{F_{b,ult} } \]

\( \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }=\frac{55,85}{114,87}=0,486\le \frac{F}{F_{b,ult} }=\frac{150}{651}=0,23 \) – условие не выполняется.

Принимаем

\[ \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }=\frac{F}{F_{b,ult} }=0,23 \]

Прочность плиты при продавливании:

\[ K_{1} =\left[ {\frac{F}{F_{b,ult} }} \right.+\left. {\frac{M_{x} }{M_{bx,ult} }+\frac{M_{y} }{M_{by,ult} }} \right]\le 1,0 \] \[ K_{1} \quad = 0,23 + 0 + 0,23 = 0,46 \]

Для СП 63.13330.2012:

\[ \frac{M_{x} }{M_{bx,ult} }+\frac{M_{y} }{M_{by,ult} }\le 0,5\frac{F}{F_{b,ult} } \]

\( \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }=\frac{55,85}{114,87}=0,486\le 0,5\frac{F}{F_{b,ult} }=\frac{150}{651}=0,5\cdot 0,23=0,115 \) – условие не выполняется.

Принимаем

\[ \frac{M_{y} }{M_{by,ult} }=\frac{F}{F_{b,ult} }=0,155 \]

Прочность плиты при продавливании:

\[ K_{1} =\left[ {\frac{F}{F_{b,ult} }} \right.+\left. {\frac{M_{x} }{M_{bx,ult} }+\frac{M_{y} }{M_{by,ult} }} \right]\le 1,0 \] \[ K_{1} \quad = 0,23 + 0 + 0,115 = 0,345 \]