Rectilinear Cantilever Beam with Concentrated Longitudinal and Shear Forces and a Torque at Its Free End

Цель: Проверка точного воспроизведения значений продольного и поперечных смещений и угла закручивания свободного торца прямолинейной консольной балки от действия на нем сосредоточенных продольной и поперечных сил и крутящего момента соответственно при различном искажении сетки конечных элементов.

Файлы с исходными данными:

Straight_cantilever_beam_Regular_shape_Shell_42.spr	Расчетная модель с типом элементов 42 при регулярной сетке
Straight_cantilever_beam_Regular_shape_Shell_142.spr	Расчетная модель с типом элементов 142 при регулярной сетке
Straight_cantilever_beam_Regular_shape_Shell_44.spr	Расчетная модель с типом элементов 44 при регулярной сетке
Straight_cantilever_beam_Regular_shape_Shell_144.spr	Расчетная модель с типом элементов 144 при регулярной сетке
Straight_cantilever_beam_Regular_shape_Shell_45.spr	Расчетная модель с типом элементов 45 при регулярной сетке
Straight_cantilever_beam_Regular_shape_Shell_145.spr	Расчетная модель с типом элементов 145 при регулярной сетке
Straight_cantilever_beam_Regular_shape_Shell_50.spr	Расчетная модель с типом элементов 50 при регулярной сетке
Straight_cantilever_beam_Regular_shape_Shell_150.spr	Расчетная модель с типом элементов 150 при регулярной сетке
Straight_cantilever_beam_Regular_shape_ Solid _36.spr	Расчетная модель с типом элементов 36 при регулярной сетке
Straight_cantilever_beam_Regular_shape_ Solid _37.spr	Расчетная модель с типом элементов 37 при регулярной сетке
Straight_cantilever_beam_Trapezoidal_shape_Shell_42.spr	Расчетная модель с типом элементов 42 при трапецеидальной сетке
Straight_cantilever_beam_Trapezoidal_shape_Shell_142.spr	Расчетная модель с типом элементов 142 при трапецеидальной сетке
Straight_cantilever_beam_Trapezoidal_shape_Shell_44.spr	Расчетная модель с типом элементов 44 при трапецеидальной сетке
Straight_cantilever_beam_Trapezoidal_shape_Shell_144.spr	Расчетная модель с типом элементов 144 при трапецеидальной сетке
Straight_cantilever_beam_Trapezoidal_shape_Shell_45.spr	Расчетная модель с типом элементов 45 при трапецеидальной сетке
Straight_cantilever_beam_Trapezoidal_shape_Shell_145.spr	Расчетная модель с типом элементов 145 при трапецеидальной сетке
Straight_cantilever_beam_Trapezoidal_shape_Shell_50.spr	Расчетная модель с типом элементов 50 при трапецеидальной сетке
Straight_cantilever_beam_Trapezoidal_shape_Shell_150.spr	Расчетная модель с типом элементов 150 при трапецеидальной сетке
Straight_cantilever_beam_Trapezoidal_shape_ Solid _36.spr	Расчетная модель с типом элементов 36 при трапецеидальной сетке
Straight_cantilever_beam_Trapezoidal_shape_ Solid _37.spr	Расчетная модель с типом элементов 37 при трапецеидальной сетке
Straight_cantilever_beam_Parallelogram_shape_Shell_42.spr	Расчетная модель с типом элементов 42 при параллелограммной сетке
Straight_cantilever_beam_Parallelogram_shape_Shell_142.spr	Расчетная модель с типом элементов 142 при параллелограммной сетке
Straight_cantilever_beam_Parallelogram_shape_Shell_44.spr	Расчетная модель с типом элементов 44 при параллелограммной сетке
Straight_cantilever_beam_Parallelogram_shape_Shell_144.spr	Расчетная модель с типом элементов 144 при параллелограммной сетке
Straight_cantilever_beam_Parallelogram_shape_Shell_45.spr	Расчетная модель с типом элементов 45 при параллелограммной сетке
Straight_cantilever_beam_Parallelogram_shape_Shell_145.spr	Расчетная модель с типом элементов 145 при параллелограммной сетке
Straight_cantilever_beam_Parallelogram_shape_Shell_50.spr	Расчетная модель с типом элементов 50 при параллелограммной сетке
Straight_cantilever_beam_Parallelogram_shape_Shell_150.spr	Расчетная модель с типом элементов 150 при параллелограммной сетке
Straight_cantilever_beam_Parallelogram_shape_ Solid _36.spr	Расчетная модель с типом элементов 36 при параллелограммной сетке
Straight_cantilever_beam_Parallelogram_shape_ Solid _37.spr	Расчетная модель с типом элементов 37 при параллелограммной сетке

Формулировка задачи: Прямолинейная изотропная консольная балка прямоугольного поперечного сечения подвергается воздействию на свободном торце сосредоточенных продольной P_x и поперечных P_y, P_z сил и крутящего момента M_x. Проверить: точное воспроизведение значений продольного X и поперечных смещений Y, Z и угла закручивания UX свободного торца прямолинейной консольной балки от соответствующих воздействий.

Ссылки: R. H. Macneal, R. L. Harder, A proposed standard set of problems to test finite element accuracy, North-Holland, Finite elements in analysis and design, 1, 1985, p. 3-20.

Исходные данные:

E = 1.0·10⁷ кПа	- модуль упругости материала балки;
ν = 0.30	- коэффициент Пуассона;
b = 0. 1 м	- ширина балки;
h = 0. 2 м	- высота балки;
L = 6.0 м	- длина балки;
P_x = 1.0 кН	- значение продольной силы;
P_y = 1.0 кН	- значение поперечной силы, действующей по высоте балки;
P_z = 1.0 кН	- значение поперечной силы, действующей по ширине балки;
M_x = 1.0 кН∙м	- значение крутящего момента.

Конечноэлементная модель: Расчетные схемы – системы общего вида. Рассматриваются три расчетные схемы с регулярной, трапецеидальной и параллелограммной сетками конечных элементов для десяти расчетных моделей:

Модель 1 - 12 трехузловых элементов оболочки типа 42. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные продольная и поперечные P_y, P_z силы и крутящий момент M_x представлены в виде двух узловых сил (P_x = 2∙0.5 кН, P_y = 2∙0.5 кН, P_z = 2∙0.5 кН, M_x = 2∙5.0∙0.2/2 кН∙м). Количество узлов в модели – 14.

Модель 2 - 12 трехузловых элементов оболочки с учетом сдвига типа 142. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные продольная P_x и поперечные P_y, P_z силы и крутящий момент M_x представлены в виде двух узловых сил (P_x = 2∙0.5 кН, P_y = 2∙0.5 кН, P_z = 2∙0.5 кН, M_x = 2∙5.0∙0.2/2 кН∙м). Количество узлов в модели – 14.

Модель 3 - 6 четырехузловых элементов оболочки типа 44. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные продольная P_x и поперечные P_y, P_z силы и крутящий момент M_x представлены в виде двух узловых сил (P_x = 2∙0.5 кН, P_y = 2∙0.5 кН, P_z = 2∙0.5 кН, M_x = 2∙5.0∙0.2/2 кН∙м). Количество узлов в модели – 14.

Модель 4 - 6 четырехузловых элементов оболочки с учетом сдвига типа 144. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные продольная и поперечные P_y, P_z силы и крутящий момент M_x представлены в виде двух узловых сил (P_x = 2∙0.5 кН, P_y = 2∙0.5 кН, P_z = 2∙0.5 кН, M_x = 2∙5.0∙0.2/2 кН∙м). Количество узлов в модели – 14.

Модель 5 - 12 шестиузловых элементов оболочки типа 45. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные продольная P_x и поперечные P_y, P_z силы и крутящий момент M_x представлены в виде двух узловых сил (P_x = 2∙0.5 кН, P_y = 2∙0.5 кН, P_z = 2∙0.5 кН, M_x = 2∙5.0∙0.2/2 кН∙м). Количество узлов в модели – 39.

Модель 6 - 12 шестиузловых элементов оболочки с учетом сдвига типа 145. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные продольная P_x и поперечные P_y, P_z силы и крутящий момент M_x представлены в виде двух узловых сил (P_x = 2∙0.5 кН, P_y = 2∙0.5 кН, P_z = 2∙0.5 кН, M_x = 2∙5.0∙0.2/2 кН∙м). Количество узлов в модели – 39.

Модель 7 - 6 восьмиузовых элементов оболочки типа 50. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные продольная P_x и поперечные P_y, P_z силы и крутящий момент M_x представлены в виде двух узловых сил (P_x = 2∙0.5 кН, P_y = 2∙0.5 кН, P_z = 2∙0.5 кН, M_x = 2∙5.0∙0.2/2 кН∙м). Количество узлов в модели – 33.

Модель 8 - 6 восьмиузовых элементов оболочки с учетом сдвига типа 150. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные продольная P_x и поперечные P_y, P_z силы и крутящий момент M_x представлены в виде двух узловых сил (P_x = 2∙0.5 кН, P_y = 2∙0.5 кН, P_z = 2∙0.5 кН, M_x = 2∙5.0∙0.2/2 кН∙м). Количество узлов в модели – 33.

Модель 9 - 6 восьмиузловых изопараметрических объемных элементов типа 36. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные продольная P_x и поперечные P_y, P_z силы и крутящий момент M_x представлены в виде четырех узловых сил (P_x = 4∙0.25 кН, P_y = 4∙0.25 кН, P_z = 4∙0.25 кН, M_x = 4∙2.5∙0.2/2 кН∙м). Количество узлов в модели – 28.

Модель 10 - 6 двадцатиузловых изопараметрических объемных элементов типа 37. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные продольная P_x и поперечные P_y, P_z силы и крутящий момент M_x представлены в виде четырех узловых сил (P_x = 4∙0.25 кН, P_y = 4∙0.25 кН, P_z = 4∙0.25 кН, M_x = 4∙2.5∙0.2/2 кН∙м). Количество узлов в модели – 80.

Результаты решения в SCAD

Модели 1 и 2.
Расчетная схема с регулярной сеткой конечных элементов

Модель 1 и 2.
Деформированная схема с регулярной сеткой конечных элементов

Модель 1.
Значения продольного смещения X, поперечных смещений Y, Z и угла закручивания UX
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, рад)

Модель 2.
Значения продольного смещения X, поперечных смещений Y, Z и угла закручивания UX
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, рад)

Модели 3 и 4.
Расчетная схема с регулярной сеткой конечных элементов

Модель 3 и 4.
Деформированная схема с регулярной сеткой конечных элементов

Модель 3.
Значения продольного смещения X, поперечных смещений Y, Z и угла закручивания UX
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, рад)

ScreenShot480
Модель 4.
Значения продольного смещения X, поперечных смещений Y, Z и угла закручивания UX
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, рад)

Модели 5 и 6.
Расчетная схема с регулярной сеткой конечных элементов

Модели 5 и 6.
Деформированная схема с регулярной сеткой конечных элементов

Модель 5.
Значения продольного смещения X, поперечных смещений Y, Z и угла закручивания UX
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, рад)

Модель 6.
Значения продольного смещения X, поперечных смещений Y, Z и угла закручивания UX
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, рад)

Модели 7 и 8.
Расчетная схема с регулярной сеткой конечных элементов

Модель 7 и 8.
Деформированная схема с регулярной сеткой конечных элементов

Модель 7.
Значения продольного смещения X, поперечных смещений Y, Z и угла закручивания UX
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, рад)

Модель 8.
Значения продольного смещения X, поперечных смещений Y, Z и угла закручивания UX
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, рад)

Модель 9.
Расчетная схема с регулярной сеткой конечных элементов

Модель 9.
Деформированная схема с регулярной сеткой конечных элементов

ScreenShot545
Модель 9.
Значения продольного смещения X от воздействия Px,
поперечных смещений Y, Z от воздействий Py, Pz
и поперечных смещений Y, Z от воздействия Mx
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, м, м)

ScreenShot549
Модель 10.
Расчетная схема с регулярной сеткой конечных элементов

Модель 10.
Деформированная схема с регулярной сеткой конечных элементов

ScreenShot558
Модель 10.
Значения продольного смещения X от воздействия P_x,
поперечных смещений Y, Z от воздействий P_y, P_z
и поперечных смещений Y, Z от воздействия Mx
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, м, м)

Модель 1 и 2.
Расчетная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модель 1 и 2.
Деформированная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модели 3 и 4.
Расчетная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

ScreenShot590
Модель 3 и 4.
Деформированная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

ScreenShot594
Модель 3.
Значения продольного смещения X, поперечных смещений Y, Z и угла закручивания UX
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, рад)

Модель 4.
Значения продольного смещения X, поперечных смещений Y, Z и угла закручивания UX
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, рад)

Модели 5 и 6.
Расчетная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модели 5 и 6.
Деформированная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модели 7 и 8.
Расчетная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модели 7 и 8.
Деформированная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модель 9.
Расчетная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модель 9.
Деформированная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модель 9.
Значения продольного смещения X от воздействия P_x,
поперечных смещений Y, Z от воздействий P_y, P_z
и поперечных смещений Y, Z от воздействия Mx
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, м, м)

Модель 10.
Расчетная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модель 10.
Деформированная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модель 10.
Значения продольного смещения X от воздействия P_x,
поперечных смещений Y, Z от воздействий P_y, P_z
и поперечных смещений Y, Z от воздействия Mx
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, м, м)

Модель 1 и 2.
Расчетная схема с параллелограммной сеткой конечных элементов

Модель 1 и 2.
Деформированная схема с параллелограммной сеткой конечных элементов

Модели 3 и 4.
Расчетная схема с параллелограммной сеткой конечных элементов

Модели 3 и 4.
Деформированная схема с параллелограммной сеткой конечных элементов

Модели 5 и 6.
Расчетная схема с параллелограммной сеткой конечных элементов

Модели 5 и 6.
Деформированная схема с параллелограммной сеткой конечных элементов

Модели 7 и 8.
Расчетная схема с параллелограммной сеткой конечных элементов

Mодели 7 и 8.
Деформированная схема с параллелограммной сеткой конечных элементов

Модель 9.
Расчетная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модель 9.
Деформированная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модель 10.
Расчетная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модель 10.
Деформированная схема с трапецеидальной сеткой конечных элементов

Модель 10.
Значения продольного смещения X от воздействия P_x,
поперечных смещений Y, Z от воздействий P_y, P_z
и поперечных смещений Y, Z от воздействия M_x
свободного торца прямолинейной консольной балки (м, м, м, м, м)

Сравнение решений:

Расчетная схема с регулярной сеткой конечных элементов

Модель	Параметр	Теория	SCAD	Отклонение, %
1 (Тип элемента 42)	Продольное смещение X свободного торца консольной балки, м	0.00003000	0.00002972	0.93
	Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м	0.1080	0.0034	96.85
	Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м	0.4320	0.4212	2.50
	Угол закручивания UX свободного торца консольной балки, рад	0.023400*	0.018560	20.68
2 (Тип элемента 142)	Продольное смещение X свободного торца консольной балки, м	0.00003000	0.00002972	0.93
	Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м	0.1080	0.0034	96.85
	Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м	0.4320	0.4198	2.82
	Угол закручивания UX свободного торца консольной балки, рад	0.034109	0.032096	5.90
3 (Тип элемента 44)	Продольное смещение X свободного торца консольной балки, м	0.00003000	0.00002986	0.47
	Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м	0.1080	0.0101	90.65
	Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м	0.4320	0.4250	1.62
	Угол закручивания UX свободного торца консольной балки, рад	0.023400*	0.019692	15.85
4 (Тип элемента 144)	Продольное смещение X свободного торца консольной балки, м	0.00003000	0.00002987	0.43
	Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м	0.1080	0.0104	90.37
	Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м	0.4320	0.4235	1.97
	Угол закручивания UX свободного торца консольной балки, рад	0.034109	0.032759	3.96
5 (Тип элемента 45)	Продольное смещение X свободного торца консольной балки, м	0.00003000