Шарнирно опертая балка, нагруженная сосредоточенной силой и равномерно-распределенным давлением
Цель: Комбинированное нагружение (поперечное давление, сосредоточенная сила) в одной плоскости без учета деформаций поперечного сдвига. Проверяются перемещения и усилия.
Формулировка задачи: Шарнирно опертая балка нагружается сосредоточенной силой Р и равномерно распределенным давлением q. Определяются перемещения w, углы поворота θ, поперечные силы Q и изгибающие моменты М.
Ссылки: Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. — Киев: Наук. думка, 1988.
Исходные данные:
| E = 2.0·1011 Па | - модуль упругости; |
| μ = 0.3 | - коэффициент Пуассона; |
| l = 3 м | - длина балки; |
| F = 14.2·10-4 м2 | - площадь поперечного сечения; |
| I = 2.44·10-6 м4 | - момент инерции; |
| Р = −5 кН | - значение сосредоточенной силы; |
| q = 10 кН/м | - значение давления; |
| a = b = 1.5 м | - геометрический размер. |
Файл с исходными данными: 4_3.spr
Конечноэлементная модель:
Расчетная схема – плоская рама, 10 стержневых элементов, 11 узлов.
Результаты решения в SCAD
Эпюра изгибающего момента М (кН*м)
Эпюра поперечной силы Q (кН)
Значение поперечных перемещений w (мм)
Значение углов поворота θ (рад)
Сравнение решений:
|
Параметр |
Теория |
SCAD |
Отклонения, % |
|---|---|---|---|
|
Прогиб в точке С, мм |
-5.043 |
-5.043 |
0.00 |
|
Угол поворота в точке В, рад |
-7.204·10-3 |
-7.204·10-3 |
0.00 |
|
Изгибающий момент в точке С, кН·м |
1.875 |
1.875 |
0.00 |
|
Поперечная сила в точке A, кН |
1.25 |
1.25 |
0.00 |
|
Поперечная сила в точке B, кН |
-8.75 |
-8.75 |
0.00 |
Замечания: При аналитическом решении прогиб в точке C может быть вычислен по следующей формуле («Справочник по сопротивлению материалов» стр. 295, 297):
\[ w_{C} =\frac{P\cdot a^{2}\cdot b^{2}}{3\cdot E\cdot I\cdot \left( {a+b} \right)}+\frac{q\cdot a\cdot b^{3}\cdot \left( {4\cdot a+b} \right)}{24\cdot E\cdot I\cdot \left( {a+b} \right)}. \]
Угол поворота в точке B вычисляется по следующей формуле («Справочник по сопротивлению материалов» стр. 295, 297):
\[ \theta_{B} =\frac{P\cdot b\cdot \left( {2\cdot a^{2}+a\cdot b} \right)}{6\cdot E\cdot I\cdot \left( {a+b} \right)}-\frac{q\cdot b^{2}\cdot \left( {4\cdot a^{2}+4\cdot a\cdot b+b^{2}} \right)}{24\cdot E\cdot I\cdot \left( {a+b} \right)}. \]
Изгибающий момент в точке C вычисляется по следующей формуле:
\[ M_{C} =\frac{P\cdot a\cdot b}{a+b}+\frac{q\cdot a\cdot b^{2}}{2\cdot \left( {a+b} \right)}. \]
Поперечная сила в точке A вычисляется по следующей формуле:
\[ Q_{A} =\frac{P\cdot b}{a+b}+\frac{q\cdot b^{2}}{2\cdot \left( {a+b} \right)}. \]
Поперечная сила в точке B вычисляется по следующей формуле:
\[ Q_{B} =-\frac{P\cdot a}{a+b}-\frac{q\cdot \left( {2\cdot a+b} \right)\cdot b}{2\cdot \left( {a+b} \right)}. \]