Прямоугольная пластина в условиях постоянных кривизн
Цель: Проверка точного воспроизведения условий постоянных кривизн (напряжений на наружной поверхности) для прямоугольной пластины при нерегулярной крупной сетке конечных элементов.
Файлы с исходными данными:
| Patch_test_Constant_curvature_Shell_42.spr | Расчетная модель с типом элементов 42 |
| Patch_test_Constant_curvature_Shell_44.spr | Расчетная модель с типом элементов 44 |
| Patch_test_Constant_curvature_Shell_45.spr | Расчетная модель с типом элементов 45 |
| Patch_test_Constant_curvature_Shell_50.spr | Расчетная модель с типом элементов 50 |
Формулировка задачи: Прямоугольная изотропная пластина постоянной толщины подвергается воздействию смещений и поворотов наружных кромок, обеспечивающих условия постоянных кривизн (напряжений на наружной поверхности). Проверить: обеспечение условий постоянных кривизн κx, κy, κxy (напряжений на наружной поверхности σx, σy, τxy).
Ссылки: R. H. Macneal, R. L. Harder, A proposed standard set of problems to test finite element accuracy, North-Holland, Finite elements in analysis and design, 1, 1985, p. 3-20.
J. Robinson, S. Blackham, An evaluation of plate bending elements: MSC/NASTRAN, ASAS, PARFEC, ANSYS and SAP4, Dorset, Robinson and associates, 1981.
Исходные данные:
| E = 1.0·106 кПа | - модуль упругости материала пластины; |
| ν = 0.25 | - коэффициент Пуассона; |
| t = 0.001 м | - толщина пластины; |
| a = 0.12 м | - размер короткой стороны пластины; |
| b = 0.24 м | - размер длинной стороны пластины; |
Граничные условия:
| w = 10-3∙(x2 + x∙y + y2)/2 | - смещение наружных кромок по нормали к поверхности пластины; |
| θx = 10-3∙(x/2 + y) | - поворот наружных кромок вокруг коротких сторон пластины; |
| θy = 10-3∙( – x – y/2) | - поворот наружных кромок вокруг длинных сторон пластины. |
Расположение внутренних узлов сетки конечных элементов:
|
Номера узлов по рисунку 1 |
x |
y |
|---|---|---|
|
1 |
0.04 |
0.02 |
|
2 |
0.18 |
0.03 |
|
3 |
0.16 |
0.08 |
|
4 |
0.08 |
0.08 |
Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Рассматриваются четыре расчетные модели:
Модель 1 - 10 трехузловых элементов оболочки типа 42. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ и смещения (поворота) их в соответствии с заданными значениями w, θx и θy. Количество узлов в модели – 8.
Модель 2 - 5 четырехузловых элементов оболочки типа 44. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ и смещения (поворота) их в соответствии с заданными значениями w, θx и θy.. Количество узлов в модели – 8.
Модель 3 - 10 шестиузловых элементов оболочки типа 45. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ и смещения (поворота) их в соответствии с заданными значениями w, θx и θy. Количество узлов в модели – 25.
Модель 4 - 5 восьмиузловых элементов оболочки типа 50. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ и смещения (поворота) их в соответствии с заданными значениями w, θx и θy. Количество узлов в модели – 20.
Результаты решения в SCAD
Модель 1. Расчетная схема
Модель 1. Деформированная схема
Модель 1. Значения изгибающего момента Mx (кН∙м/м)
Модель 1. Значения изгибающего момента My (кН∙м/м)
Модель 1. Значения крутящего момента Mxy (кН∙м/м)
Модель 2. Расчетная схема
Модель 2. Деформированная схема
Модель 2. Значения изгибающего момента Mx (кН∙м/м)
Модель 2. Значения изгибающего момента My (кН∙м/м)
Модель 2. Значения крутящего момента Mxy (кН∙м/м)
Модель 3. Расчетная схема
Модель 3. Деформированная схема
Модель 3. Значения изгибающего момента Mx (кН∙м/м)
Модель 3. Значения изгибающего момента My (кН∙м/м)
Модель 3. Значения крутящего момента Mxy (кН∙м/м)
Модель 4. Расчетная схема
Модель 4. Деформированная схема
Модель 4. Значения изгибающего момента Mx (кН∙м/м)
Модель 4. Значения изгибающего момента My (кН∙м/м)
Модель 4. Значения крутящего момента Mxy (кН∙м/м)
Сравнение решений:
|
Модель |
Параметр |
Теория |
SCAD |
Отклонение, % |
|---|---|---|---|---|
|
1 |
Нормальные напряжения σx, кН/м2 |
0.667 |
6∙1.111∙10-7/0.0012 = = 0.667 |
0.00 |
|
Нормальные напряжения σy, кН/м2 |
0.667 |
6∙1.111∙10-7/0.0012 = = 0.667 |
0.00 |
|
|
Касательные напряжения τxy, кН/м2 |
0.200 |
6∙0.333∙10-7/0.0012 = = 0.200 |
0.00 |
|
|
2 |
Нормальные напряжения σx, кН/м2 |
0.667 |
6∙1.111∙10-7/0.0012 = = 0.667 |
0.00 |
|
Нормальные напряжения σy, кН/м2 |
0.667 |
6∙1.111∙10-7/0.0012 = = 0.667 |
0.00 |
|
|
Касательные напряжения τxy, кН/м2 |
0.200 |
6∙0.333∙10-7/0.0012 = = 0.200 |
0.00 |
|
|
3 |
Нормальные напряжения σx, кН/м2 |
0.667 |
6∙1.111∙10-7/0.0012 = = 0.667 |
0.00 |
|
Нормальные напряжения σy, кН/м2 |
0.667 |
6∙1.111∙10-7/0.0012 = = 0.667 |
0.00 |
|
|
Касательные напряжения τxy, кН/м2 |
0.200 |
6∙0.333∙10-7/0.0012 = = 0.200 |
0.00 |
|
|
4 |
Нормальные напряжения σx, кН/м2 |
0.667 |
6∙1.111∙10-7/0.0012 = = 0.667 |
0.00 |
|
Нормальные напряжения σy, кН/м2 |
0.667 |
6∙1.111∙10-7/0.0012 = = 0.667 |
0.00 |
|
|
Касательные напряжения τxy, кН/м2 |
0.200 |
6∙0.333∙10-7/0.0012 = = 0.200 |
0.00 |
Замечания: При аналитическом решении нормальные σx, σy и касательные τxy напряжения на наружной поверхности пластины определяются по следующим формулам:
\[ \sigma_{x} =10^{-3}\cdot \frac{E\cdot t}{2\cdot \left( {1-\nu } \right)}=\frac{6\cdot M_{x} }{t^{2}}; \quad \sigma_{y} =10^{-3}\cdot \frac{E\cdot t}{2\cdot \left( {1-\nu } \right)}=\frac{6\cdot M_{y} }{t^{2}}; \quad \\ \tau_{xy} =10^{-3}\cdot \frac{E\cdot t}{4\cdot \left( {1+\nu } \right)}=\frac{6\cdot M_{xy} }{t^{2}}. \]