Куб в условиях постоянных напряжений по объему

Цель: Проверка точного воспроизведения условий постоянных напряжений по объему куба при нерегулярной крупной сетке конечных элементов.

Использованная версия SCAD: 11.5
 

Файлы с исходными данными:

Название файла расчета	Описание файла расчета
Patch_test_Constant_stress_Solid_32.SPR	Расчетная модель с типом элементов 32
Patch_test_Constant_stress_Solid_34.SPR	Расчетная модель с типом элементов 34
Patch_test_Constant_stress_Solid_36.SPR	Расчетная модель с типом элементов 36
Patch_test_Constant_stress_Solid_37.SPR	Расчетная модель с типом элементов 37

Формулировка задачи: Единичный изотропный куб подвергается воздействию смещений наружных поверхностей, обеспечивающих условия постоянных напряжений по объему. Проверить: обеспечение условий постоянных нормальных σ_x, σ_y, σ_z и касательных τ_xy, τ_xz, τ_yz напряжений по объему.

Ссылки: R. H. Macneal, R. L. Harder, A proposed standard set of problems to test finite element accuracy, North-Holland, Finite elements in analysis and design, 1, 1985, p. 3-20.

Исходные данные:

E = 1.0·106 кПа	- модуль упругости материала пластины;
ν = 0.25	- коэффициент Пуассона;
a = 1.00 м	- размер ребра куба;
Граничные условия:
u = 10-3∙(2∙x + y + z)/2	- смещение наружных поверхностей вдоль оси X общей системы координат;
v = 10-3∙(x + 2∙y + z)/2	- смещение наружных поверхностей вдоль оси Y общей системы координат;
w = 10-3∙(x + y + 2∙z)/2	- смещение наружных поверхностей вдоль оси Z общей системы координат;

 

Расположение внутренних узлов сетки конечных элементов:

Номера узлов по рисунку 1	x	y	z
1	0.35	0.35	0.35
2	0.75	0.25	0.25
3	0.85	0.85	0.15
4	0.25	0.75	0.25
5	0.35	0.35	0.65
6	0.75	0.25	0.75
7	0.85	0.85	0.85
8	0.25	0.75	0.75

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида. Рассматриваются четыре расчетные модели:

Модель 1 - 42 элемента четырехузловой пирамиды типа 32. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных поверхностей куба по направлениям степеней свободы X, Y, Z и смещения их в соответствии с заданными значениями u, v, w. Количество узлов в модели – 16.

Модель 2 - 14 шестиузловых изопараметрических объемных элементов типа 34. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных поверхностей куба по направлениям степеней свободы X, Y, Z и смещения их в соответствии с заданными значениями u, v, w. Количество узлов в модели – 16.

Модель 3 - 7 восьмиузловых изопараметрических объемных элементов типа 36. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных поверхностей куба по направлениям степеней свободы X, Y, Z и смещения их в соответствии с заданными значениями u, v, w. Количество узлов в модели – 16.

Модель 4 - 7 двадцатиузловых изопараметрических объемных элементов типа 37. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы наружных поверхностей куба по направлениям степеней свободы X, Y, Z и смещения их в соответствии с заданными значениями u, v, w. Количество узлов в модели – 48.

Результаты решения в SCAD

Модель 1. Расчетная и деформированная схемы

Модель 2. Расчетная и деформированная схемы

Модель 3. Расчетная и деформированная схемы

Модель 4. Расчетная и деформированная схемы

Значения для всех моделей нормальных напряжений σ_x, σ_y σ_z (кН/м²)

Значения для всех моделей касательных напряжений τ_xz, τ_xy, τ_yz (кН/м²)

Сравнение решений:

Модель	Параметр	Теория	SCAD	Отклонение, %
1-4	Нормальные напряжения σx, кН/м2	2000	2000	0.00
	Нормальные напряжения σy, кН/м2	2000	2000	0.00
	Нормальные напряжения σz, кН/м2	2000	2000	0.00
	Касательные напряжения τxy, кН/м2	400	400	0.00
	Касательные напряжения τxz, кН/м2	400	400	0.00
	Касательные напряжения τyz, кН/м2	400	400	0.00

Замечания: При аналитическом решении нормальные σ_x, σ_y, σ_z и касательные τ_xy, τ_xz, τ_yz напряжения по объему куба определяются по следующим формулам:

\[ \sigma_{x} =10^{-3}\cdot \frac{E}{1-2\cdot \nu }; \quad \sigma_{y} =10^{-3}\cdot \frac{E}{1-2\cdot \nu }; \quad \sigma_{z} =10^{-3}\cdot \frac{E}{1-2\cdot \nu }; \] \[ \tau_{xy} =10^{-3}\cdot \frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)}; \quad \tau_{xz} =10^{-3}\cdot \frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)}; \quad \tau_{yz} =10^{-3}\cdot \frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)}. \]