Скрученная консольная балка под действием на свободном торце сосредоточенных поперечных сил
Цель: Проверка точного воспроизведения значений поперечных смещений свободного торца скрученной консольной балки от действия на нем соответствующих сосредоточенных поперечных сил.
Файлы с исходными данными:
| Twisted_cantilever_beam_Shell_42.spr | Расчетная модель с типом элементов 42 |
| Twisted_cantilever_beam_Shell_142.spr | Расчетная модель с типом элементов 142 |
| Twisted_cantilever_beam_Shell_44.spr | Расчетная модель с типом элементов 44 |
| Twisted_cantilever_beam_Shell_144.spr | Расчетная модель с типом элементов 144 |
| Twisted_cantilever_beam_Shell_45.spr | Расчетная модель с типом элементов 45 |
| Twisted_cantilever_beam_Shell_145.spr | Расчетная модель с типом элементов 145 |
| Twisted_cantilever_beam_Shell_50.spr | Расчетная модель с типом элементов 50 |
| Twisted_cantilever_beam_Shell_150.spr | Расчетная модель с типом элементов 150 |
| Twisted_cantilever_beam_Solid_36.spr | Расчетная модель с типом элементов 36 |
| Twisted_cantilever_beam_Solid_37.spr | Расчетная модель с типом элементов 37 |
Формулировка задачи: Скрученная по продольной оси изотропная консольная балка прямоугольного поперечного сечения подвергается воздействию на свободном торце сосредоточенных поперечных Py, Pz сил (изгиб в плоскости и из плоскости высоты балки у свободного торца). Проверить: точное воспроизведение значений поперечных смещений Y, Z свободного торца скрученной консольной балки от соответствующих воздействий.
Ссылки: R. H. Macneal, R. L. Harder, A proposed standard set of problems to test finite element accuracy, North-Holland, Finite elements in analysis and design, 1, 1985, p. 3-20.
Исходные данные:
| E = 2.9·107 кПа | - модуль упругости материала балки; |
| ν = 0.22 | - коэффициент Пуассона; |
| b = 0. 32 м | - ширина балки; |
| h = 1. 10 м | - высота балки; |
| L = 12.0 м | - длина продольной оси балки; |
| α = π/2 рад | - угол скручивания продольной оси балки; |
| Py = 1.0 кН | - значение поперечной силы, действующей по высоте балки у свободного торца; |
| Pz = 1.0 кН | - значение поперечной силы, действующей по ширине балки у свободного торца. |
Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Рассматривается расчетная схема с регулярной сеткой конечных элементов 12x2 для десяти расчетных моделей:
Модель 1 - 48 трехузловых элементов оболочки типа 42. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные поперечные Py, Pz силы представлены в виде двух узловых сил (Py = 2∙0.5 кН, Pz = 2∙0.5 кН). Количество узлов в модели – 39.
Модель 2 - 48 трехузловых элементов оболочки с учетом сдвига типа 142. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные поперечные Py, Pz силы представлены в виде двух узловых сил (Py = 2∙0.5 кН, Pz = 2∙0.5 кН). Количество узлов в модели – 39.
Модель 3 - 24 четырехузловых элементов оболочки типа 44. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные поперечные Py, Pz силы представлены в виде двух узловых сил (Py = 2∙0.5 кН, Pz = 2∙0.5 кН).. Количество узлов в модели – 39.
Модель 4 - 24 четырехузловых элементов оболочки с учетом сдвига типа 144. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные поперечные Py, Pz силы представлены в виде двух узловых сил (Py = 2∙0.5 кН, Pz = 2∙0.5 кН). Количество узлов в модели – 39.
Модель 5 - 48 шестиузловых элементов оболочки типа 45. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные поперечные Py, Pz силы представлены в виде двух узловых сил (Py = 2∙0.5 кН, Pz = 2∙0.5 кН). Количество узлов в модели – 125.
Модель 6 - 48 шестиузловых элементов оболочки с учетом сдвига типа 145. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные поперечные Py, Pz силы представлены в виде двух узловых сил (Py = 2∙0.5 кН, Pz = 2∙0.5 кН). Количество узлов в модели – 125.
Модель 7 - 24 восьмиузловых элемента оболочки типа 50. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные поперечные Py, Pz силы представлены в виде двух узловых сил (Py = 2∙0.5 кН, Pz = 2∙0.5 кН). Количество узлов в модели – 101.
Модель 8 - 24 восьмиузловых элемента оболочки с учетом сдвига типа 150. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные поперечные Py, Pz силы представлены в виде двух узловых сил (Py = 2∙0.5 кН, Pz = 2∙0.5 кН). Количество узлов в модели – 101.
Модель 9 - 24 восьмиузловых изопараметрических объемных элемента типа 36. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные поперечные Py, Pz силы представлены в виде четырех узловых сил (Py = 4∙0.25 кН, Pz = 4∙0.25 кН). Количество узлов в модели – 78.
Модель 10 - 24 двадцатиузловых изопараметрических объемных элемента типа 37. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанного торца балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Сосредоточенные поперечные Py, Pz силы представлены в виде четырех узловых сил (Py = 4∙0.25 кН, Pz = 4∙0.25 кН). Количество узлов в модели – 241.
Результаты решения в SCAD
Модели 1 и 2. Расчетная схема
Модели 1 и 2. Деформированная схема
Модель 1. Значения поперечных смещений Y, Z свободного торца скрученной консольной балки (м, м)
Модель 2. Значения поперечных смещений Y, Z свободного торца скрученной консольной балки (м, м)
Модели 3 и 4. Расчетная схема
Модели 3 и 4. Деформированная схема
Модель 3. Значения поперечных смещений Y, Z свободного торца скрученной консольной балки (м, м)
Модель 4. Значения поперечных смещений Y, Z свободного торца скрученной консольной балки (м, м)
Модели 5 и 6. Расчетная схема
Модели 5 и 6. Деформированная схема
Модель 5. Значения поперечных смещений Y, Z свободного торца скрученной консольной балки (м, м)
Модель 6. Значения поперечных смещений Y, Z свободного торца скрученной консольной балки (м, м)
Модели 7 и 8. Расчетная схема
Модели 7 и 8. Деформированная схема
Модель 7. Значения поперечных смещений Y, Z свободного торца скрученной консольной балки (м, м)
Модель 8. Значения поперечных смещений Y, Z свободного торца скрученной консольной балки (м, м)
Модель 9. Расчетная схема
Модель 9. Деформированная схема
Модель 9. Значения поперечных смещений Y, Z свободного торца скрученной консольной балки (м, м)
Модель 10. Расчетная схема
Модель 10. Деформированная схема
Модель 10. Значения поперечных смещений Y, Z свободного торца скрученной консольной балки (м, м)
Сравнение решений:
|
Модель |
Параметр |
Теория |
SCAD |
Отклонение, % |
|---|---|---|---|---|
|
1 (Тип элемента 42) |
Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м |
0.005426 |
0.005314 |
2.06 |
|
Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м |
0.001746 |
0.001463 |
16.21 |
|
|
2 (Тип элемента 142) |
Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м |
0.005426 |
0.006220 |
14.63 |
|
Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м |
0.001746 |
0.001710 |
2.06 |
|
|
3 (Тип элемента 44) |
Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м |
0.005426 |
0.001899 |
65.00 |
|
Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м |
0.001746 |
0.000906 |
48.11 |
|
|
4 (Тип элемента 144) |
Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м |
0.005426 |
0.002158 |
60.23 |
|
Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м |
0.001746 |
0.000961 |
44.96 |
|
|
5 (Тип элемента 45) |
Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м |
0.005426 |
0.005388 |
0.70 |
|
Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м |
0.001746 |
0.001750 |
0.23 |
|
|
6 (Тип элемента 145) |
Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м |
0.005426 |
0.006588 |
21.42 |
|
Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м |
0.001746 |
0.002178 |
24.74 |
|
|
7 (Тип элемента 50) |
Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м |
0.005426 |
0.003948 |
27.24 |
|
Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м |
0.001746 |
0.001481 |
15.18 |
|
|
8 (Тип элемента 150) |
Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м |
0.005426 |
0.004094 |
24.55 |
|
Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м |
0.001746 |
0.001505 |
13.80 |
|
|
9 (Тип элемента 36) |
Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м |
0.005426 |
0.001119 |
79.38 |
|
Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м |
0.001746 |
0.000583 |
66.61 |
|
|
10 (Тип элемента 37) |
Поперечное смещение Y свободного торца консольной балки, м |
0.005426 |
0.005403 |
0.42 |
|
Поперечное смещение Z свободного торца консольной балки, м |
0.001746 |
0.001757 |
0.63 |
Замечания: При аналитическом решении значения поперечных смещений Y, Z свободного торца скрученной консольной балки от соответствующих воздействий определяются по следующим формулам:
\[ Y=\frac{12\cdot P_{y} \cdot L^{3}}{E\cdot b^{3}\cdot h^{3}}\cdot \left[ {\left( {\frac{1}{6}-\frac{1}{\pi^{2}}} \right)\cdot h^{2}+\left( {\frac{1}{6}+\frac{1}{\pi^{2}}} \right)\cdot b^{2}} \right]; \quad Z=\frac{12\cdot P_{z} \cdot L^{3}}{E\cdot b^{3}\cdot h^{3}}\cdot \left[ {\left( {\frac{1}{6}+\frac{1}{\pi^{2}}} \right)\cdot h^{2}+\left( {\frac{1}{6}-\frac{1}{\pi^{2}}} \right)\cdot b^{2}} \right]. \]