Заделанная по наружным кромкам плоская прямоугольная пластина под действием равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки и сосредоточенной поперечной силы в центре
Цель: Проверка точного воспроизведения значений поперечных перемещений в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины от действия равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки и сосредоточенной поперечной силы в центре.
Файлы с исходными данными:
| Расчетная модель с типом элементов 42 для сеток 2x2, 4x4, 8x8 | |
| Расчетная модель с типом элементов 44 для сеток 2x2, 4x4, 8x8 | |
| Расчетная модель с типом элементов 45 для сеток 2x2, 4x4, 8x8 | |
| Расчетная модель с типом элементов 50 для сеток 2x2, 4x4, 8x8 | |
| Расчетная модель с типом элементов 36 для сеток 2x2, 4x4, 8x8, 16x16, 32x32, 64x64, 128x128 | |
| Расчетная модель с типом элементов 37 для сеток 2x2, 4x4, 8x8, 16x16, 32x32, 64x64, 128x128 |
Формулировка задачи: Свободно опертая плоская прямоугольная пластина подвергается воздействию равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки q и сосредоточенной поперечной силы в центре P. Проверить: точное воспроизведение значений поперечных перемещений в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины wq и wP от соответствующих воздействий.
Ссылки: R. H. Macneal, R. L. Harder, A proposed standard set of problems to test finite element accuracy, North-Holland, Finite elements in analysis and design, 1, 1985, p. 3-20.
S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells, New York, McGraw-Hill,1959, p. 120, 143, 202, 206.
Исходные данные:
| E = 1.7472·107 кПа | - модуль упругости материала пластины; |
| ν = 0.30 | - коэффициент Пуассона; |
| a = 2.00 м | - ширина пластины; |
| b = 10.00 м | - длина пластины; |
| h = 10-4 (10-2) м | - толщина пластины; |
| q = 1.0·10-4 кН/м2 | - значение равномерно распределенной по всей площади пластины поперечной нагрузки; |
| P = 4.0·10-4 кН | - значение сосредоточенной поперечной силы в центре пластины. |
Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Рассматривается расчетная схема четверти пластины по условиям симметрии для шести расчетных моделей:
Модель 1 – 8, 32, 128 трехузловых элемента оболочки типа 42 с регулярной сеткой 2x2, 4x4, 8x8. Толщина пластины – 10-4 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 9, 25, 81.
Модель 2 – 4, 16, 64 четырехузловых элемента оболочки типа 44 с регулярной сеткой 2x2, 4x4, 8x8. Толщина пластины – 10-4 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 9, 25, 81.
Модель 3 – 8, 32, 128 шестиузловых элемента оболочки типа 45 с регулярной сеткой 2x2, 4x4, 8x8. Толщина пластины – 10-4 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 25, 81, 289.
Модель 4 – 4, 16, 64 восьмиузловых элемента оболочки типа 50 с регулярной сеткой 2x2, 4x4, 8x8. Толщина пластины – 10-4 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 25, 81, 289.
Модель 5 – 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384 восьмиузловых изопараметрических объемных элемента типа 36 с регулярной сеткой 2x2x1, 4x4x1, 8x8x1, 16x16x1, 32x32x1, 64x64x1, 128x128x1. Толщина пластины – 10-2 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорных ребер нижней поверхности пластины по направлению степени свободы Z и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 18, 50, 162, 578, 2178, 8450, 33282.
Модель 6 – 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384 двадцатиузловых изопараметрических объемных элемента типа 37 с регулярной сеткой 2x2x1, 4x4x1, 8x8x1, 16x16x1, 32x32x1, 64x64x1, 128x128x1. Толщина пластины – 10-2 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорных ребер нижней поверхности пластины по направлению степени свободы Z и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 51, 155, 531, 1955, 7491, 29315, 115971.
Результаты решения в SCAD
Модель 1. Расчетная схема
Модель 1. Деформированная схема
Модель 1. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)
Модель 2. Расчетная схема
Модель 2. Деформированная схема
Модель 2. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)
Модель 3. Расчетная схема
Модель 3. Деформированная схема
Модель 3. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)
Модель 4. Расчетная схема
Модель 4. Деформированная схема
Модель 4. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)
Модель 5. Расчетная схема
Модель 5. Деформированная схема
Модель 5. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)
Модель 6. Расчетная схема
Модель 6. Деформированная схема
Модель 6. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)
Сравнение решений:
Поперечные перемещения в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины wq от воздействия равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки q
|
Модель |
Сетка конечных элементов |
Теория |
SCAD |
Отклонение, % |
|---|---|---|---|---|
|
1 (Тип элемента 42) |
2x2 |
12.971 |
11.804 |
9.00 |
|
4x4 |
12.847 |
0.96 |
||
|
8x8 |
12.958 |
0.10 |
||
|
2 (Тип элемента 44) |
2x2 |
12.971 |
12.528 |
3.42 |
|
4x4 |
13.093 |
0.94 |
||
|
8x8 |
13.030 |
0.45 |
||
|
3 (Тип элемента 45) |
2x2 |
12.971 |
13.029 |
0.45 |
|
4x4 |
12.973 |
0.02 |
||
|
8x8 |
12.971 |
0.00 |
||
|
4 (Тип элемента 50) |
2x2 |
12.971 |
13.020 |
0.38 |
|
4x4 |
12.971 |
0.00 |
||
|
8x8 |
12.971 |
0.00 |
||
|
5 (Тип элемента 36) |
2x2 |
12.971∙10-6 |
0.017∙10-6 |
99.87 |
|
4x4 |
0.067∙10-6 |
99.48 |
||
|
8x8 |
0.264∙10-6 |
97.96 |
||
|
16x16 |
0.983∙10-6 |
92.42 |
||
|
32x32 |
3.099∙10-6 |
76.11 |
||
|
64x64 |
6.656∙10-6 |
48.69 |
||
|
128x128 |
9.234∙10-6 |
28.81 |
||
|
6 (Тип элемента 37) |
2x2 |
12.971∙10-6 |
9.000∙10-6 |
30.61 |
|
4x4 |
13.308∙10-6 |
2.60 |
||
|
8x8 |
12.931∙10-6 |
0.31 |
||
|
16x16 |
12.963∙10-6 |
0.06 |
||
|
32x32 |
12.971∙10-6 |
0.00 |
||
|
64x64 |
12.972∙10-6 |
0.01 |
||
|
128x128 |
12.973∙10-6 |
0.02 |
Поперечные перемещения в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины wP от воздействия сосредоточенной поперечной силы в центре P
|
Модель |
Сетка конечных элементов |
Теория |
SCAD |
Отклонение, % |
|---|---|---|---|---|
|
1 (Тип элемента 42) |
2x2 |
16.960 |
7.771 |
54.18 |
|
4x4 |
11.983 |
29.34 |
||
|
8x8 |
14.833 |
12.54 |
||
|
2 (Тип элемента 44) |
2x2 |
16.960 |
12.674 |
25.27 |
|
4x4 |
14.768 |
12.92 |
||
|
8x8 |
15.657 |
7.68 |
||
|
3 (Тип элемента 45) |
2x2 |
16.960 |
15.383 |
9.30 |
|
4x4 |
16.539 |
2.48 |
||
|
8x8 |
16.849 |
0.65 |
||
|
4 (Тип элемента 50) |
2x2 |
16.960 |
15.862 |
6.47 |
|
4x4 |
16.553 |
2.40 |
||
|
8x8 |
16.845 |
0.68 |
||
|
5 (Тип элемента 36) |
2x2 |
16.960∙10-6 |
0.014∙10-6 |
99.92 |
|
4x4 |
0.051∙10-6 |
99.70 |
||
|
8x8 |
0.197∙10-6 |
98.84 |
||
|
16x16 |
0.737∙10-6 |
95.65 |
||
|
32x32 |
2.426∙10-6 |
85.70 |
||
|
64x64 |
5.859∙10-6 |
65.45 |
||
|
128x128 |
9.654∙10-6 |
43.08 |
||
|
6 (Тип элемента 37) |
2x2 |
16.960∙10-6 |
4.494∙10-6 |
73.50 |
|
4x4 |
10.523∙10-6 |
37.95 |
||
|
8x8 |
15.480∙10-6 |
8.73 |
||
|
16x16 |
16.572∙10-6 |
2.29 |
||
|
32x32 |
16.866∙10-6 |
0.55 |
||
|
64x64 |
16.952∙10-6 |
0.05 |
||
|
128x128 |
16.976∙10-6 |
0.09 |
Замечания: При аналитическом решении значения поперечных перемещений в центре заделанной по наружным кромкам плоской квадратной пластины wq и wP от соответствующих воздействий определяются по следующим формулам:
\[ {w_{q} =\frac{4\cdot q\cdot a^{4}}{\pi^{5}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left\{ {\frac{1}{m^{5}}\cdot \left[ {1-\frac{\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}\cdot th\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)+2}{2\cdot ch\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}} \right]\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}} +} \\ {\frac{a^{2}}{2\cdot \pi^{2}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left\{ {E_{m} \cdot \frac{1}{m^{2}}\cdot \frac{\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}\cdot sh\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}{ch^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}+} } \\ {\frac{b^{2}}{2\cdot \pi^{2}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left\{ {F_{m} \cdot \frac{1}{m^{2}}\cdot \frac{\frac{m\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}\cdot sh\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}{ch^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}} } \]
Значения коэффициентов Em и Fm определяются из решения системы 2∙M уравнений:
\[ {\frac{4\cdot q\cdot a^{2}}{\pi^{3}}\cdot \frac{1}{i^{4}}\cdot \left( {\frac{\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}-th\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)} \right)-\frac{E_{i} }{i}\cdot \left( {\frac{\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}+th\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)} \right)-\frac{8\cdot i\cdot a}{\pi \cdot b}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left[ {F_{m} \cdot \frac{1}{m^{3}}\cdot \frac{1}{\left( {\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{i^{2}}{m^{2}}} \right)^{2}}\cdot \sin^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right]} } \\ {\frac{4\cdot q\cdot b^{2}}{\pi^{3}}\cdot \frac{1}{i^{4}}\cdot \left( {\frac{\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}-th\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)} \right)-\frac{F_{i} }{i}\cdot \left( {\frac{\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}+th\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)} \right)-\frac{8\cdot i\cdot b}{\pi \cdot a}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left[ {E_{m} \cdot \frac{1}{m^{3}}\cdot \frac{1}{\left( {\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{i^{2}}{m^{2}}} \right)^{2}}\cdot \sin^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right]} } \\ \] \[ {w_{P} =\frac{P\cdot a^{2}}{2\cdot \pi^{3}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left\{ {\frac{1}{m^{3}}\cdot \left[ {th\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)-\frac{\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}}{ch^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}} \right]\cdot \sin^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}} +} \\ {\frac{a^{2}}{2\cdot \pi^{2}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left\{ {E_{m} \cdot \frac{1}{m^{2}}\cdot \frac{\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}\cdot sh\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}{ch^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}+} } \\ {\frac{b^{2}}{2\cdot \pi^{2}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left\{ {F_{m} \cdot \frac{1}{m^{2}}\cdot \frac{\frac{m\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}\cdot sh\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}{ch^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}} } \\ \]
Значения коэффициентов Em и Fm определяются из решения системы 2∙M уравнений:
\[ {-\frac{P}{\pi }\cdot \frac{1}{i^{2}}\cdot \frac{\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}\cdot sh\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}\cdot \sin \left( {\frac{i\cdot \pi }{2}} \right)-\frac{E_{i} }{i}\cdot \left( {\frac{\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}+th\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)} \right)-\frac{8\cdot i\cdot a}{\pi \cdot b}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left[ {F_{m} \cdot \frac{1}{m^{3}}\cdot \frac{1}{\left( {\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{i^{2}}{m^{2}}} \right)^{2}}\cdot \sin^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right]} } \\ {-\frac{P}{\pi }\cdot \frac{1}{i^{2}}\cdot \frac{\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}\cdot sh\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}\cdot \sin \left( {\frac{i\cdot \pi }{2}} \right)-\frac{F_{i} }{i}\cdot \left( {\frac{\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}+th\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)} \right)-\frac{8\cdot i\cdot b}{\pi \cdot a}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left[ {E_{m} \cdot \frac{1}{m^{3}}\cdot \frac{1}{\left( {\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{i^{2}}{m^{2}}} \right)^{2}}\cdot \sin^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right]} } \\ \] \[ D=\frac{E\cdot h^{3}}{12\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)}. \]
Тот факт, что для густых сеток (64x64, 128x128) точность решения ухудшилась связана с тем, что начинает сказываться накопление вычислительных ошибок.