Заделанная по наружным кромкам плоская прямоугольная пластина под действием равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки и сосредоточенной поперечной силы в центре

Цель: Проверка точного воспроизведения значений поперечных перемещений в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины от действия  равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки и сосредоточенной поперечной силы в центре.


Файлы с исходными данными:

Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Shell_42_Mesh_2x2.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Shell_42_Mesh_4x4.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Shell_42_Mesh_8x8.spr

Расчетная модель с типом элементов 42 для сеток 2x2, 4x4, 8x8

Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Shell_44_Mesh_2x2.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Shell_44_Mesh_4x4.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Shell_44_Mesh_8x8.spr

Расчетная модель с типом элементов 44 для сеток 2x2, 4x4, 8x8

Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Shell_45_Mesh_2x2.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Shell_45_Mesh_4x4.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Shell_45_Mesh_8x8.spr

Расчетная модель с типом элементов 45 для сеток 2x2, 4x4, 8x8

Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Shell_50_Mesh_2x2.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Shell_50_Mesh_4x4.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Shell_50_Mesh_8x8.spr

Расчетная модель с типом элементов 50 для сеток 2x2, 4x4, 8x8

Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Solid_36_Mesh_2x2.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Solid_36_Mesh_4x4.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Solid_36_Mesh_8x8.spr

Расчетная модель с типом элементов 36 для сеток 2x2, 4x4, 8x8, 16x16, 32x32, 64x64, 128x128

Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Solid_37_Mesh_2x2.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Solid_37_Mesh_4x4.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Clamped_supported_Solid_37_Mesh_8x8.spr

Расчетная модель с типом элементов 37 для сеток 2x2, 4x4, 8x8, 16x16, 32x32, 64x64, 128x128

 

Формулировка задачи: Свободно опертая плоская прямоугольная пластина подвергается воздействию равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки q и сосредоточенной поперечной силы в центре P. Проверить: точное воспроизведение значений поперечных перемещений в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины wq и wP от соответствующих воздействий.

Ссылки: R. H. Macneal, R. L. Harder, A proposed standard set of problems to test finite element accuracy, North-Holland, Finite elements in analysis and design, 1, 1985, p. 3-20.
S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells, New York, McGraw-Hill,1959, p. 120, 143, 202, 206.

Исходные данные:

E = 1.7472·107 кПа - модуль упругости материала пластины;
ν = 0.30 - коэффициент Пуассона;
a = 2.00 м - ширина пластины;
b = 10.00 м - длина пластины;
h = 10-4 (10-2) м - толщина пластины;
q = 1.0·10-4 кН/м2 - значение равномерно распределенной по всей площади пластины поперечной нагрузки;
P = 4.0·10-4 кН - значение сосредоточенной поперечной силы в центре пластины.

 

Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Рассматривается расчетная схема четверти пластины по условиям симметрии для шести расчетных моделей:

 

Модель 1 – 8, 32, 128 трехузловых элемента оболочки типа 42 с регулярной сеткой 2x2, 4x4, 8x8. Толщина пластины – 10-4 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 9, 25, 81.

Модель 2 – 4, 16, 64 четырехузловых элемента оболочки типа 44 с регулярной сеткой 2x2, 4x4, 8x8. Толщина пластины – 10-4 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 9, 25, 81.

Модель 3 – 8, 32, 128 шестиузловых элемента оболочки типа 45 с регулярной сеткой 2x2, 4x4, 8x8. Толщина пластины – 10-4 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 25, 81, 289.

Модель 4 – 4, 16, 64 восьмиузловых элемента оболочки типа 50 с регулярной сеткой 2x2, 4x4, 8x8. Толщина пластины – 10-4 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 25, 81, 289.

Модель 5 – 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384 восьмиузловых изопараметрических объемных элемента типа 36 с регулярной сеткой 2x2x1, 4x4x1, 8x8x1, 16x16x1, 32x32x1, 64x64x1, 128x128x1. Толщина пластины – 10-2 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорных ребер нижней поверхности пластины по направлению степени свободы Z и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 18, 50, 162, 578, 2178, 8450, 33282.

Модель 6 – 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384 двадцатиузловых изопараметрических объемных элемента типа 37 с регулярной сеткой 2x2x1, 4x4x1, 8x8x1, 16x16x1, 32x32x1, 64x64x1, 128x128x1. Толщина пластины – 10-2 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорных ребер нижней поверхности пластины по направлению степени свободы Z и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 51, 155, 531, 1955, 7491, 29315, 115971.

Результаты решения в SCAD




Модель 1. Расчетная схема

 




Модель 1. Деформированная схема

 




Модель 1. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)

 




Модель 2. Расчетная схема

 




Модель 2. Деформированная схема

 




Модель 2. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)

 




Модель 3. Расчетная схема

 




Модель 3. Деформированная схема

 




Модель 3. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)

 




Модель 4. Расчетная схема

 




Модель 4. Деформированная схема

 




Модель 4. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)

 








Модель 5. Расчетная схема

 








Модель 5. Деформированная схема

 








Модель 5. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)

 








Модель 6. Расчетная схема

 








Модель 6. Деформированная схема

 








Модель 6. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)


Сравнение решений:

Поперечные перемещения в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины wq от воздействия равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки q

Модель

Сетка конечных элементов

Теория

SCAD

Отклонение, %

1

(Тип элемента 42)

2x2

12.971

11.804

9.00

4x4

12.847

0.96

8x8

12.958

0.10

2

(Тип элемента 44)

2x2

12.971

12.528

3.42

4x4

13.093

0.94

8x8

13.030

0.45

3

(Тип элемента 45)

2x2

12.971

13.029

0.45

4x4

12.973

0.02

8x8

12.971

0.00

4

(Тип элемента 50)

2x2

12.971

13.020

0.38

4x4

12.971

0.00

8x8

12.971

0.00

5

(Тип элемента 36)

2x2

12.971∙10-6

0.017∙10-6

99.87

4x4

0.067∙10-6

99.48

8x8

0.264∙10-6

97.96

16x16

0.983∙10-6

92.42

32x32

3.099∙10-6

76.11

64x64

6.656∙10-6

48.69

128x128

9.234∙10-6

28.81

6

(Тип элемента 37)

2x2

12.971∙10-6

9.000∙10-6

30.61

4x4

13.308∙10-6

2.60

8x8

12.931∙10-6

0.31

16x16

12.963∙10-6

0.06

32x32

12.971∙10-6

0.00

64x64

12.972∙10-6

0.01

128x128

12.973∙10-6

0.02

 

Поперечные перемещения в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины wP от воздействия сосредоточенной поперечной силы в центре P

Модель

Сетка конечных элементов

Теория

SCAD

Отклонение, %

1

(Тип элемента 42)

2x2

16.960

7.771

54.18

4x4

11.983

29.34

8x8

14.833

12.54

2

(Тип элемента 44)

2x2

16.960

12.674

25.27

4x4

14.768

12.92

8x8

15.657

7.68

3

(Тип элемента 45)

2x2

16.960

15.383

9.30

4x4

16.539

2.48

8x8

16.849

0.65

4

(Тип элемента 50)

2x2

16.960

15.862

6.47

4x4

16.553

2.40

8x8

16.845

0.68

5

(Тип элемента 36)

2x2

16.960∙10-6

0.014∙10-6

99.92

4x4

0.051∙10-6

99.70

8x8

0.197∙10-6

98.84

16x16

0.737∙10-6

95.65

32x32

2.426∙10-6

85.70

64x64

5.859∙10-6

65.45

128x128

9.654∙10-6

43.08

6

(Тип элемента 37)

2x2

16.960∙10-6

4.494∙10-6

73.50

4x4

10.523∙10-6

37.95

8x8

15.480∙10-6

8.73

16x16

16.572∙10-6

2.29

32x32

16.866∙10-6

0.55

64x64

16.952∙10-6

0.05

128x128

16.976∙10-6

0.09

 

Замечания: При аналитическом решении значения поперечных перемещений в центре заделанной по наружным кромкам плоской квадратной пластины wq и wP от соответствующих воздействий определяются по следующим формулам:

\[ {w_{q} =\frac{4\cdot q\cdot a^{4}}{\pi^{5}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left\{ {\frac{1}{m^{5}}\cdot \left[ {1-\frac{\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}\cdot th\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)+2}{2\cdot ch\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}} \right]\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}} +} \\ {\frac{a^{2}}{2\cdot \pi^{2}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left\{ {E_{m} \cdot \frac{1}{m^{2}}\cdot \frac{\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}\cdot sh\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}{ch^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}+} } \\ {\frac{b^{2}}{2\cdot \pi^{2}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left\{ {F_{m} \cdot \frac{1}{m^{2}}\cdot \frac{\frac{m\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}\cdot sh\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}{ch^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}} } \]

Значения коэффициентов Em и Fm определяются из решения системы 2∙M уравнений:

\[ {\frac{4\cdot q\cdot a^{2}}{\pi^{3}}\cdot \frac{1}{i^{4}}\cdot \left( {\frac{\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}-th\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)} \right)-\frac{E_{i} }{i}\cdot \left( {\frac{\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}+th\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)} \right)-\frac{8\cdot i\cdot a}{\pi \cdot b}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left[ {F_{m} \cdot \frac{1}{m^{3}}\cdot \frac{1}{\left( {\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{i^{2}}{m^{2}}} \right)^{2}}\cdot \sin^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right]} } \\ {\frac{4\cdot q\cdot b^{2}}{\pi^{3}}\cdot \frac{1}{i^{4}}\cdot \left( {\frac{\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}-th\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)} \right)-\frac{F_{i} }{i}\cdot \left( {\frac{\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}+th\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)} \right)-\frac{8\cdot i\cdot b}{\pi \cdot a}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left[ {E_{m} \cdot \frac{1}{m^{3}}\cdot \frac{1}{\left( {\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{i^{2}}{m^{2}}} \right)^{2}}\cdot \sin^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right]} } \\ \] \[ {w_{P} =\frac{P\cdot a^{2}}{2\cdot \pi^{3}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left\{ {\frac{1}{m^{3}}\cdot \left[ {th\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)-\frac{\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}}{ch^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}} \right]\cdot \sin^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}} +} \\ {\frac{a^{2}}{2\cdot \pi^{2}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left\{ {E_{m} \cdot \frac{1}{m^{2}}\cdot \frac{\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}\cdot sh\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}{ch^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}+} } \\ {\frac{b^{2}}{2\cdot \pi^{2}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left\{ {F_{m} \cdot \frac{1}{m^{2}}\cdot \frac{\frac{m\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}\cdot sh\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}{ch^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}} } \\ \]

Значения коэффициентов Em и Fm определяются из решения системы 2∙M уравнений:

\[ {-\frac{P}{\pi }\cdot \frac{1}{i^{2}}\cdot \frac{\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}\cdot sh\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}\cdot \sin \left( {\frac{i\cdot \pi }{2}} \right)-\frac{E_{i} }{i}\cdot \left( {\frac{\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}+th\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)} \right)-\frac{8\cdot i\cdot a}{\pi \cdot b}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left[ {F_{m} \cdot \frac{1}{m^{3}}\cdot \frac{1}{\left( {\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{i^{2}}{m^{2}}} \right)^{2}}\cdot \sin^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right]} } \\ {-\frac{P}{\pi }\cdot \frac{1}{i^{2}}\cdot \frac{\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}\cdot sh\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}\cdot \sin \left( {\frac{i\cdot \pi }{2}} \right)-\frac{F_{i} }{i}\cdot \left( {\frac{\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}}{ch^{2}\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)}+th\left( {\frac{i\cdot \pi \cdot a}{2\cdot b}} \right)} \right)-\frac{8\cdot i\cdot b}{\pi \cdot a}\cdot \sum\limits_{m=1}^M {\left[ {E_{m} \cdot \frac{1}{m^{3}}\cdot \frac{1}{\left( {\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{i^{2}}{m^{2}}} \right)^{2}}\cdot \sin^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right]} } \\ \] \[ D=\frac{E\cdot h^{3}}{12\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)}. \]

Тот факт, что для густых сеток (64x64, 128x128) точность решения ухудшилась связана с тем, что начинает сказываться накопление вычислительных ошибок.