Свободно опертая плоская прямоугольная пластина под действием равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки и сосредоточенной поперечной силы в центре

Цель: Проверка точного воспроизведения значений поперечных перемещений в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины от действия  равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки и сосредоточенной поперечной силы в центре.

Файлы с исходными данными:

Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Shell_42_Mesh_2x2.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Shell_42_Mesh_4x4.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Shell_42_Mesh_8x8.spr

Расчетная модель с типом элементов 42 для сеток 2x2, 4x4, 8x8

Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Shell_44_Mesh_2x2.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Shell_44_Mesh_4x4.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Shell_44_Mesh_8x8.spr

Расчетная модель с типом элементов 44 для сеток 2x2, 4x4, 8x8

Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Shell_45_Mesh_2x2.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Shell_45_Mesh_4x4.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Shell_45_Mesh_8x8.spr

Расчетная модель с типом элементов 45 для сеток 2x2, 4x4, 8x8

Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Shell_50_Mesh_2x2.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Shell_50_Mesh_4x4.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Shell_50_Mesh_8x8.spr

Расчетная модель с типом элементов 50 для сеток 2x2, 4x4, 8x8

Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Solid_36_Mesh_2x2.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Solid_36_Mesh_4x4.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Solid_36_Mesh_8x8.spr

Расчетная модель с типом элементов 36 для сеток 2x2, 4x4, 8x8, 16x16, 32x32, 64x64, 128x128

Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Solid_37_Mesh_2x2.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Solid_37_Mesh_4x4.spr
Bending_of_rectangular_flat_plate_Simply_supported_Solid_37_Mesh_8x8.spr

Расчетная модель с типом элементов 37 для сеток 2x2, 4x4, 8x8, 16x16, 32x32, 64x64, 128x128

 

Формулировка задачи: Свободно опертая плоская прямоугольная пластина подвергается воздействию равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки q и сосредоточенной поперечной силы в центре P. Проверить: точное воспроизведение значений поперечных перемещений в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины wq и wP от соответствующих воздействий.

Ссылки: R. H. Macneal, R. L. Harder, A proposed standard set of problems to test finite element accuracy, North-Holland, Finite elements in analysis and design, 1, 1985, p. 3-20.
S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells, New York, McGraw-Hill,1959, p. 120, 143, 202, 206.

Исходные данные:

E = 1.7472·107 кПа - модуль упругости материала пластины;
ν = 0.30 - коэффициент Пуассона;
a = 2.00 м - ширина пластины;
b = 10.00 м - длина пластины;
h = 10-4 (10-2) м - толщина пластины;
q = 1.0·10-4 кН/м2 - значение равномерно распределенной по всей площади пластины поперечной нагрузки;
P = 4.0·10-4 кН - значение сосредоточенной поперечной силы в центре пластины.


Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Рассматривается расчетная схема четверти пластины по условиям симметрии для шести расчетных моделей:

Модель 1 – 8, 32, 128 трехузловых элементов оболочки типа 42 с регулярной сеткой 2x2, 4x4, 8x8. Толщина пластины – 10-4 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 9, 25, 81.

Модель 2 – 4, 16, 64 четырехузловых элемента оболочки типа 44 с регулярной сеткой 2x2, 4x4, 8x8. Толщина пластины – 10-4 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 9, 25, 81.

Модель 3 – 8, 32, 128 шестиузловых элементов оболочки типа 45 с регулярной сеткой 2x2, 4x4, 8x8. Толщина пластины – 10-4 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 25, 81, 289.

Модель 4 – 4, 16, 64 восьмиузловых элемента оболочки типа 50 с регулярной сеткой 2x2, 4x4, 8x8. Толщина пластины – 10-4 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанных кромок пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 25, 81, 289.

Модель 5 – 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384 восьмиузловых изопараметрических объемных элемента типа 36 с регулярной сеткой 2x2x1, 4x4x1, 8x8x1, 16x16x1, 32x32x1, 64x64x1, 128x128x1. Толщина пластины – 10-2 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанных ребер нижней поверхности пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, на узлы заделанных ребер верхней поверхности пластины, параллельных оси Y общей системы координат, по направлению степени свободы X, на узлы заделанных ребер верхней поверхности пластины, параллельных оси X общей системы координат, по направлению степени свободы Y и связей по условиям симметрии.  Количество узлов в модели – 18, 50, 162, 578, 2178, 8450, 33282.

Модель 6 – 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384 двадцатиузловых изопараметрических объемных элемента типа 37 с регулярной сеткой 2x2x1, 4x4x1, 8x8x1, 16x16x1, 32x32x1, 64x64x1, 128x128x1. Толщина пластины – 10-2 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы заделанных ребер нижней поверхности пластины по направлениям степеней свободы X, Y, Z, на узлы заделанных ребер верхней поверхности пластины, параллельных оси Y общей системы координат, по направлению степени свободы X, на узлы заделанных ребер верхней поверхности пластины, параллельных оси X общей системы координат, по направлению степени свободы Y и связей по условиям симметрии. Количество узлов в модели – 51, 155, 531, 1955, 7491, 29315, 115971.

Результаты решения в SCAD




Модель 1. Расчетная схема

 



Модель 1. Деформированная схема

 



Модель 1. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)

 




Модель 2. Расчетная схема

 




Модель 2. Деформированная схема

 




Модель 2. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)

 




Модель 3. Расчетная схема

 




Модель 3. Деформированная схема

 




Модель 3. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)

 




Модель 4. Расчетная схема

 




Модель 4. Деформированная схема

 




Модель 4. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)

 








Модель 5. Расчетная схема

 








Модель 5. Деформированная схема

 








Модель 5. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)

 








Модель 6. Расчетная схема

 








Модель 6. Деформированная схема

 








Модель 6. Значения поперечных перемещений в центре свободно опертой прямоугольной пластины wq и wP (м, м)

 

Сравнение решений:

Поперечные перемещения в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины wq от воздействия равномерно распределенной по всей площади поперечной нагрузки q

Модель

Сетка конечных элементов

Теория

SCAD

Отклонение, %

1

(Тип элемента 42)

2x2

12.971

11.804

9.00

4x4

12.847

0.96

8x8

12.958

0.10

2

(Тип элемента 44)

2x2

12.971

12.528

3.42

4x4

13.093

0.94

8x8

13.030

0.45

3

(Тип элемента 45)

2x2

12.971

13.029

0.45

4x4

12.973

0.02

8x8

12.971

0.00

4

(Тип элемента 50)

2x2

12.971

13.020

0.38

4x4

12.971

0.00

8x8

12.971

0.00

5

(Тип элемента 36)

2x2

12.971∙10-6

0.017∙10-6

99.87

4x4

0.067∙10-6

99.48

8x8

0.264∙10-6

97.96

16x16

0.983∙10-6

92.42

32x32

3.099∙10-6

76.11

64x64

6.656∙10-6

48.69

128x128

9.234∙10-6

28.81

6

(Тип элемента 37)

2x2

12.971∙10-6

9.000∙10-6

30.61

4x4

13.308∙10-6

2.60

8x8

12.931∙10-6

0.31

16x16

12.963∙10-6

0.06

32x32

12.971∙10-6

0.00

64x64

12.972∙10-6

0.01

128x128

12.973∙10-6

0.02

 

Поперечные перемещения в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины wP от воздействия сосредоточенной поперечной силы в центре P

Модель

Сетка конечных элементов

Теория

SCAD

Отклонение, %

1

(Тип элемента 42)

2x2

16.960

7.771

54.18

4x4

11.983

29.34

8x8

14.833

12.54

2

(Тип элемента 44)

2x2

16.960

12.674

25.27

4x4

14.768

12.92

8x8

15.657

7.68

3

(Тип элемента 45)

2x2

16.960

15.383

9.30

4x4

16.539

2.48

8x8

16.849

0.65

4

(Тип элемента 50)

2x2

16.960

15.862

6.47

4x4

16.553

2.40

8x8

16.845

0.68

5

(Тип элемента 36)

2x2

16.960∙10-6

0.014∙10-6

99.92

4x4

0.051∙10-6

99.70

8x8

0.197∙10-6

98.84

16x16

0.737∙10-6

95.65

32x32

2.426∙10-6

85.70

64x64

5.859∙10-6

65.45

128x128

9.654∙10-6

43.08

6

(Тип элемента 37)

2x2

16.960∙10-6

4.494∙10-6

73.50

4x4

10.523∙10-6

37.95

8x8

15.480∙10-6

8.73

16x16

16.572∙10-6

2.29

32x32

16.866∙10-6

0.55

64x64

16.952∙10-6

0.05

128x128

16.976∙10-6

0.09

 

Замечания: При аналитическом решении значения поперечных перемещений в центре свободно опертой плоской прямоугольной пластины wq и wP от соответствующих воздействий определяются по следующим формулам:

\[ w_{q} =\frac{4\cdot q\cdot a^{4}}{\pi^{5}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^\infty {\left\{ {\frac{1}{m^{5}}\cdot \left[ {1-\frac{\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}\cdot th\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)+2}{2\cdot ch\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}} \right]\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}} ; \] \[ w_{P} =\frac{P\cdot a^{2}}{2\cdot \pi^{3}\cdot D}\cdot \sum\limits_{m=1}^\infty {\left\{ {\frac{1}{m^{3}}\cdot \left[ {th\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)-\frac{\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}}{ch^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi \cdot b}{2\cdot a}} \right)}} \right]\cdot \sin^{2}\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right\}} , \quad где: \quad \] \[ D=\frac{E\cdot h^{3}}{12\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)}. \]