Почти несжимаемый толстостенный цилиндр в условиях плоской деформации под действием равномерно распределенного внутреннего давления

Цель: Проверка точного воспроизведения значений радиальных перемещений внутренней поверхности почти несжимаемого толстостенного цилиндра в условиях плоской деформации от действия равномерно распределенного внутреннего давления.

Файлы с исходными данными:

Nearly_incompressible_thick_cylinder_Shell_42_Poisson_ratio_049_.spr
Nearly_incompressible_thick_cylinder_Shell_42_Poisson_ratio_0499_.spr
Nearly_incompressible_thick_cylinder_Shell_42_Poisson_ratio_04999_.spr

Расчетная модель с типом элементов 42 для материала с коэффициентом Пуассона 0.49, 0.499, 0.4999

Nearly_incompressible_thick_cylinder_Shell_44_Poisson_ratio_049_.spr
Nearly_incompressible_thick_cylinder_Shell_44_Poisson_ratio_0499_.spr
Nearly_incompressible_thick_cylinder_Shell_44_Poisson_ratio_04999_.spr

Расчетная модель с типом элементов 44 для материала с коэффициентом Пуассона 0.49, 0.499, 0.4999

Nearly_incompressible_thick_cylinder_Shell_45_Poisson_ratio_049_.spr
Nearly_incompressible_thick_cylinder_Shell_45_Poisson_ratio_0499_.spr
Nearly_incompressible_thick_cylinder_Shell_45_Poisson_ratio_04999_.spr

Расчетная модель с типом элементов 45 для материала с коэффициентом Пуассона 0.49, 0.499, 0.4999

Nearly_incompressible_thick_cylinder_Shell_50_Poisson_ratio_049_.spr
Nearly_incompressible_thick_cylinder_Shell_50_Poisson_ratio_0499_.spr
Nearly_incompressible_thick_cylinder_Shell_50_Poisson_ratio_04999_.spr

Расчетная модель с типом элементов 50 для материала с коэффициентом Пуассона 0.49, 0.499, 0.4999

Nearly_incompressible_thick_cylinder_ Solid _36_Poisson_ratio_049_.spr
Nearly_incompressible_thick_cylinder_ Solid _36_Poisson_ratio_0499_.spr
Nearly_incompressible_thick_cylinder_Solid_36_Poisson_ratio_04999_.spr

Расчетная модель с типом элементов 36 для материала с коэффициентом Пуассона 0.49, 0.499, 0.4999

Nearly_incompressible_thick_cylinder_ Solid _37_Poisson_ratio_049_.spr
Nearly_incompressible_thick_cylinder_ Solid _37_Poisson_ratio_0499_.spr
Nearly_incompressible_thick_cylinder_Solid_37_Poisson_ratio_04999_.spr

Расчетная модель с типом элементов 37 для материала с коэффициентом Пуассона 0.49, 0.499, 0.4999

 

Формулировка задачи: Почти несжимаемый толстостенный цилиндр находится в условиях плоской деформации и подвергается воздействию равномерно распределенного внутреннего давления p. Проверить: точное воспроизведение значений радиальных перемещений внутренней поверхности u.

Ссылки: R. H. Macneal, R. L. Harder, A proposed standard set of problems to test finite element accuracy, North-Holland, Finite elements in analysis and design, 1, 1985, p. 3-20.

Исходные данные:

E = 1000 кПа - модуль упругости материала толстостенного цилиндра;
ν = 0.49; 0.499; 0.4999 - коэффициент Пуассона;
Ri = 3.00 м - радиус внутренней поверхности толстостенного цилиндра;
Re = 9.00 м - радиус внешней поверхности толстостенного цилиндра;
p = 1.0 кПа - значения равномерно распределенного внутреннего давления.


Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Рассматривается расчетная схема сектора толстостенного цилиндра толщиной 1.00 м с центральным углом θ = 10° по условиям симметрии для шести расчетных моделей:

Модель 1 – 10 трехузловых элементов оболочки типа 42 неравных размеров с разбивкой сетки в радиальном направлении 3.00 м, 3.50 м, 4.20 м, 5.20 м, 6.75 м, 9.00 м . Обеспечение граничных условий достигается за счет введения 12 стержневых элементов пространственной фермы типа 4 повышенной продольной жесткости (EF = 106 кН) в тангенциальном направлении (ортогонально боковым поверхностям сектора). На опорные узлы стержневых элементов накладываются связи по степеням свободы X, Y, Z. Геометрическая неизменяемость достигается за счет наложения связей на боковые поверхности сектора по степеням свободы Z, UZ. По внутренней поверхности цилиндра прикладывается нагрузка на элемент по линии p = 1.0 кН/м. Количество узлов в модели – 24.

Модель 2 – 5 четырехузловых элементов оболочки типа 44 неравных размеров с разбивкой сетки в радиальном направлении 3.00 м, 3.50 м, 4.20 м, 5.20 м, 6.75 м, 9.00 м . Обеспечение граничных условий достигается за счет введения 12 стержневых элементов пространственной фермы типа 4 повышенной продольной жесткости (EF = 106 кН) в тангенциальном направлении (ортогонально боковым поверхностям сектора). На опорные узлы стержневых элементов накладываются связи по степеням свободы X, Y, Z. Геометрическая неизменяемость достигается за счет наложения связей на боковые поверхности сектора по степеням свободы Z, UZ. По внутренней поверхности цилиндра прикладывается нагрузка на элемент по линии p = 1.0 кН/м. Количество узлов в модели – 24.

Модель 3 – 10 шестиузловых элементов оболочки типа 45 неравных размеров с разбивкой сетки в радиальном направлении 3.00 м, 3.50 м, 4.20 м, 5.20 м, 6.75 м, 9.00 м . Обеспечение граничных условий достигается за счет введения 22 стержневых элементов пространственной фермы типа 4 повышенной продольной жесткости (EF = 106 кН) в тангенциальном направлении (ортогонально боковым поверхностям сектора). На опорные узлы стержневых элементов накладываются связи по степеням свободы X, Y, Z. Геометрическая неизменяемость достигается за счет наложения связей на боковые поверхности сектора по степеням свободы Z, UZ. По внутренней поверхности цилиндра прикладывается нагрузка на элемент по линии p = 1.0 кН/м. Количество узлов в модели – 55.

Модель 4 – 5 восьмиузловых элементов оболочки типа 50 неравных размеров с разбивкой сетки в радиальном направлении 3.00 м, 3.50 м, 4.20 м, 5.20 м, 6.75 м, 9.00 м . Обеспечение граничных условий достигается за счет введения 22 стержневых элементов пространственной фермы типа 4 повышенной продольной жесткости (EF = 106 кН) в тангенциальном направлении (ортогонально боковым поверхностям сектора). На опорные узлы стержневых элементов накладываются связи по степеням свободы X, Y, Z. Геометрическая неизменяемость достигается за счет наложения связей на боковые поверхности сектора по степеням свободы Z, UZ. По внутренней поверхности цилиндра прикладывается нагрузка на элемент по линии p = 1.0 кН/м. Количество узлов в модели – 50.

Модель 5 – 5 восьмиузловых изопараметрических объемных элементов типа 36 неравных размеров с разбивкой сетки в радиальном направлении 3.00 м, 3.50 м, 4.20 м, 5.20 м, 6.75 м, 9.00 м . Обеспечение граничных условий достигается за счет введения 24 стержневых элементов пространственной фермы типа 4 повышенной продольной жесткости (EF = 106 кН) в тангенциальном направлении (ортогонально боковым поверхностям сектора). На опорные узлы стержневых элементов накладываются связи по степеням свободы X, Y, Z. Геометрическая неизменяемость достигается за счет наложения связей на боковые поверхности сектора по степени свободы Z. По внутренней поверхности цилиндра прикладывается нагрузка на элемент по грани p = 1.0 кН/м2. Количество узлов в модели – 50.

Модель 6 – 5 двадцатиузловых изопараметрических объемных элементов типа 37 неравных размеров с разбивкой сетки в радиальном направлении 3.00 м, 3.50 м, 4.20 м, 5.20 м, 6.75 м, 9.00 м . Обеспечение граничных условий достигается за счет введения 56 стержневых элементов пространственной фермы типа 4 повышенной продольной жесткости (EF = 106 кН) в тангенциальном направлении (ортогонально боковым поверхностям сектора). На опорные узлы стержневых элементов накладываются связи по степеням свободы X, Y, Z. Геометрическая неизменяемость достигается за счет наложения связей на боковые поверхности сектора по степени свободы Z. По внутренней поверхности цилиндра прикладывается нагрузка на элемент по грани p = 1.0 кН/м2. Количество узлов в модели – 124.

Результаты решения в SCAD


Модель 1. Расчетная схема

 


Модель 1. Деформированная схема

 




Модель 1. Значения перемещений по направлению оси X общей системы координат (м) для материалов толстостенного цилиндра с коэффициентами Пуассона 0.49; 0.499; 0.4999

 


Модель 2. Расчетная схема

 


Модель 2. Деформированная схема

 




Модель 2. Значения перемещений по направлению оси X общей системы координат (м) для материалов толстостенного цилиндра с коэффициентами Пуассона 0.49; 0.499; 0.4999

 


Модель 3. Расчетная схема

 


Модель 3. Деформированная схема

 




Модель 3. Значения перемещений по направлению оси X общей системы координат (м) для материалов толстостенного цилиндра с коэффициентами Пуассона 0.49; 0.499; 0.4999

 


Модель 4. Расчетная схема

 


Модель 4. Деформированная схема

 




Модель 4. Значения перемещений по направлению оси X общей системы координат (м) для материалов толстостенного цилиндра с коэффициентами Пуассона 0.49; 0.499; 0.4999

 


Модель 5. Расчетная схема

 


Модель 5. Деформированная схема

 







Модель 5. Значения перемещений по направлению осей X и Y общей системы координат (м, м) для материалов толстостенного цилиндра с коэффициентами Пуассона 0.49; 0.499; 0.4999

 


Модель 6. Расчетная схема

 


Модель 6. Деформированная схема

 







Модель 6. Значения перемещений по направлению осей X и Y общей системы координат (м, м) для материалов толстостенного цилиндра с коэффициентами Пуассона 0.49; 0.499; 0.4999

 

Сравнение решений:

Радиальные перемещения внутренней поверхности толстостенного цилиндра u (м) для материалов с коэффициентами Пуассона 0.49; 0.499; 0.4999

Модель

Коэффициент Пуассона

Теория

SCAD

Отклонение, %

1

(Тип элемента 42)

0.49

0.005040

0.005093

1.05

0.499

0.005060

0.005118

1.15

0.4999

0.005062

0.005121

1.17

2

(Тип элемента 44)

0.49

0.005040

0.005138

1.94

0.499

0.005060

0.005163

2.04

0.4999

0.005062

0.005166

2.05

3

(Тип элемента 45)

0.49

0.005040

0.005195

3.08

0.499

0.005060

0.005222

3.20

0.4999

0.005062

0.005225

3.22

4

(Тип элемента 50)

0.49

0.005040

0.005193

3.04

0.499

0.005060

0.005222

3.20

0.4999

0.005062

0.005223

3.18

5

(Тип элемента 36)

0.49

0.005040

√(0.0042442 +

+ 0.0003712) =

= 0.004260

15.48

0.499

0.005060

√(0.0018112 +

+ 0.0001582) =

= 0.001818

64.07

0.4999

0.005062

√(0.0002702 +

+ 0.0000242) =

= 0.000271

94.65

6

(Тип элемента 37)

0.49

0.005040

√(0.0050482 +

+ 0.0004412) =

= 0.005067

0.54

0.499

0.005060

√(0.0049812 +

+ 0.0004352) =

= 0.005000

1.19

0.4999

0.005062

√(0.0044702 +

+ 0.0003912) =

= 0.004487

11.36

 

Замечания: При аналитическом решении радиальные перемещения внутренней поверхности почти несжимаемого толстостенного цилиндра в условиях плоской деформации u от действия равномерно распределенного внутреннего давления определяются по следующим формулам:

\[ u=\frac{\left( {1+\nu } \right)\cdot p\cdot R_{i}^{2}}{E\cdot \left( {R_{e} ^{2}-R_{i}^{2}} \right)}\cdot \left[ {\frac{R_{e}^{2}}{R_{i} }+\left( {1-2\cdot \nu } \right)\cdot R_{i} } \right]. \]