Устойчивость консольного бруса квадратного поперечного сечения под действием сосредоточенной поперечной изгибающей силы, центрально приложенной на свободном торце (прямой изгиб)

Цель: Определение критического значения сосредоточенной поперечной изгибающей силы, действующей центрально на свободном торце консольного бруса квадратного поперечного сечения, соответствующего моменту потери его устойчивости.

Файлы с исходными данными:

Имя файла

Описание файла расчета

Stability_Bar_2_Bar.SPR

Стержневая расчетная модель

Stability_Bar_2_Shell.SPR

Оболочечная расчетная модель

Stability_Bar_2_Solid.SPR

Объемная расчетная модель

 

Формулировка задачи: Консольный брус квадратного поперечного сечения подвергается воздействию сосредоточенной поперечной изгибающей силы P, центрально действующей на его свободном торце. Определить критическое значение сосредоточенной поперечной изгибающей силы Pcr, соответствующее моменту потери устойчивости консольного бруса.  

Ссылки: А. С. Вольмир, Устойчивость деформируемых систем, Москва, Наука, 1967, стр.214;

Исходные данные:

L = 10.0 м - длина консольного бруса;
h = b = 1.0 м - сторона квадратного поперечного сечения консольного бруса;
E = 3.0·107 кН/м2 - модуль упругости материала консольного бруса;
ν = 0.2 - коэффициент Пуассона;
P = 105 кН - начальное значение сосредоточенной поперечной изгибающей силы, центрально действующей на свободном торце бруса.

 

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида. Рассматриваются три расчетные модели:

Стержневая модель (С), 10 элементов типа 5, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси полосы с шагом 1.0 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узел защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением сосредоточенной поперечной изгибающей силы P задается в узле свободного торца бруса. Количество узлов в расчетной схеме – 11;

Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина (П), 2560 восьмиузловых элементов типа 150, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси и высоте бруса с шагом 0.0625 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением сосредоточенной поперечной изгибающей силы P задается в узле продольной оси бруса, расположенном на свободном торце. Количество узлов в расчетной схеме – 8033.

Объемная модель (О), 5120 двадцатиузловых элементов типа 37, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси, ширине и высоте бруса с шагом 0.125 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением сосредоточенной поперечной изгибающей силы P задается в виде равномерно распределенной нагрузки по наружным граням элементов торца бруса p = P/(h·b). Количество узлов в расчетной схеме – 24705.

Результаты решения в SCAD


Расчетная схема. Стержневая модель

 


Расчетная схема. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

 


Расчетная схема. Объемная модель

 


1-ая Форма потери устойчивости. Стержневая модель

 


1-ая Форма потери устойчивости. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина


1-ая Форма потери устойчивости. Объемная модель

Сравнение решений:

Критическое значение сосредоточенной поперечной изгибающей силы Pcr (кН), действующей центрально на свободном торце бруса

Расчетная модель

Теория

SCAD

Отклонение, %

Стержневая

84111

0,834694∙105=83469

0,76

Оболочечная теории

Рейсснера-Миндлина

84111

0,821972∙105=82197

2,28

Объемная

84111

0,843750∙105=84375

0,31

Замечания: При аналитическом решении критическое значение сосредоточенной поперечной изгибающей силы Pcr, соответствующее моменту потери устойчивости консольного бруса определяется по следующей формуле:

\[ P=\frac{4,01\cdot \sqrt {E\cdot I_{z} \cdot G\cdot I_{x} } }{L^{2}} \quad G=\frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)} \]

\( I_{z} =\frac{h\cdot b^{3}}{12} \) – наименьший момент инерции изгиба (из плоскости действия момента);

\( I_{x} =k_{f} \cdot h\cdot b^{3} \) – момент инерции свободного кручения, где:

\[ k_{f} =\frac{1}{3}\cdot \left\{ {1-\frac{192}{\pi^{5}}\cdot \frac{b}{h}\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty {\left[ {\sin^{2}\left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \frac{1}{n^{5}}\cdot th\left( {\frac{n\cdot \pi \cdot h}{2\cdot b}} \right)} \right]} } \right\} \]