Устойчивость консольного бруса квадратного поперечного сечения под действием сосредоточенной поперечной изгибающей силы, приложенной к верхнему ребру свободного торца (прямой изгиб)

Цель: Определение критического значения сосредоточенной поперечной изгибающей силы, действующей на верхнем ребре свободного торца консольного бруса квадратного поперечного сечения, соответствующего моменту потери его устойчивости.

Файлы с исходными данными:

Имя файла	Описание файла расчета
Stability_Bar_3_Bar.SPR	Стержневая расчетная модель
Stability_Bar_3_Shell.SPR	Оболочечная расчетная модель
Stability_Bar_3_Solid.SPR	Объемная расчетная модель

Формулировка задачи: Консольный брус квадратного поперечного сечения подвергается воздействию сосредоточенной поперечной изгибающей силы P, действующей на верхнем ребре его свободного торца. Определить критическое значение сосредоточенной поперечной изгибающей силы P_cr, соответствующее моменту потери устойчивости консольного бруса.

Ссылки: А. С. Вольмир, Устойчивость деформируемых систем, Москва, Наука, 1967, стр.216;

Исходные данные:

L = 10.0 м	- длина консольного бруса;
h = b = 1.0 м	- сторона квадратного поперечного сечения консольного бруса;
h/2 = 0.5 м	- высота точки приложения сосредоточенной поперечной изгибающей силы относительно продольной оси бруса (ось X общей системы координат);
E = 3.0·10⁷ кН/м²	- модуль упругости материала консольного бруса;
ν = 0.2	- коэффициент Пуассона;
P = 10⁵ кН	- начальное значение сосредоточенной поперечной изгибающей силы, действующей на верхнем ребре свободного торца бруса.

Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Рассматриваются три расчетные модели:

Стержневая модель (С), 10 элементов типа 5, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси полосы с шагом 1.0 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узел защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. К узлу свободного торца бруса примыкает 1 двухузловой элемент типа 100 (трехмерное твердое тело), расположенный вертикально вверх с длиной, равной h/2. Воздействие с начальным значением сосредоточенной поперечной изгибающей силы P задается в свободном узле элемента твердого тела (повышенная точка приложения). Количество узлов в расчетной схеме – 12;

Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина (П), 2560 восьмиузловых элементов типа 150, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси и высоте бруса с шагом 0.0625 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением сосредоточенной поперечной изгибающей силы P задается в узле, расположенном на свободном торце и отстоящем по высоте от продольной оси бруса на h/2. Количество узлов в расчетной схеме – 8033.

Объемная модель (О), 5120 двадцатиузловых элементов типа 37, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси, ширине и высоте бруса с шагом 0.125 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением сосредоточенной поперечной изгибающей силы P задается в виде группы узловых сил на верхнем ребре свободного торца бруса P_i = P·0.0625/1.0 = 6250 кН (3125 кН для угловых узлов). Количество узлов в расчетной схеме – 24705.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема. Стержневая модель

Расчетная схема. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

Расчетная схема. Объемная модель

1-ая Форма потери устойчивости. Стержневая модель

1-ая Форма потери устойчивости. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

1-ая Форма потери устойчивости. Объемная модель

Сравнение решений:

Критическое значение сосредоточенной поперечной изгибающей силы P_cr (кН), действующей на верхнем ребре свободного торца бруса

Расчетная модель	Теория	SCAD	Отклонение, %
Стержневая	78305	0,778008∙10⁵=77801	0,64
Оболочечная теории Рейсснера-Миндлина	78305	0,768958∙10⁵=76896	1,80
Объемная	78305	0,816406∙10⁵=81641	4,26

Расчетная модель

Теория

SCAD

Отклонение, %

Стержневая

78305

0,778008∙10⁵=77801

0,64

Оболочечная теории

Рейсснера-Миндлина

78305

0,768958∙10⁵=76896

1,80

Объемная

78305

0,816406∙10⁵=81641

4,26

Замечания: При аналитическом решении критическое значение сосредоточенной поперечной изгибающей силы P_cr, соответствующее моменту потери устойчивости консольного бруса определяется по следующей формуле:

\[ P=\frac{4,01\cdot \sqrt {E\cdot I_{z} \cdot G\cdot I_{x} } }{L^{2}}\cdot k_{h} \quad G=\frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)} \quad k_{h} =f\left( {\frac{h}{2\cdot L}\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I_{z} }{G\cdot I_{x} }} } \right) \]

\( I_{z} =\frac{h\cdot b^{3}}{12} \) – наименьший момент инерции изгиба (из плоскости действия момента);

\( I_{x} =k_{f} \cdot h\cdot b^{3} \) – момент инерции свободного кручения, где:

\[ k_{f} =\frac{1}{3}\cdot \left\{ {1-\frac{192}{\pi^{5}}\cdot \frac{b}{h}\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty {\left[ {\sin^{2}\left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \frac{1}{n^{5}}\cdot th\left( {\frac{n\cdot \pi \cdot h}{2\cdot b}} \right)} \right]} } \right\} \]