Устойчивость шарнирно опертого в плоскости и защемленного из плоскости изгиба бруса квадратного поперечного сечения под действием сосредоточенных изгибающих моментов, приложенных к торцам и равных по значению (чистый изгиб)

Цель: Определение критического значения сосредоточенных изгибающих моментов, равных по значению и действующих на торцах шарнирно опертого в плоскости и защемленного из плоскости изгиба бруса квадратного поперечного сечения, соответствующего моменту потери его устойчивости.

Файлы с исходными данными:

Имя файла	Описание файла расчета
Stability_Bar_5_Bar.SPR	Стержневая расчетная модель
Stability_Bar_5_Shell.SPR	Оболочечная расчетная модель

Формулировка задачи: Шарнирно опертый в плоскости и защемленный из плоскости изгиба брус квадратного поперечного сечения подвергается воздействию сосредоточенных изгибающих моментов M, равных по значению и действующих на его торцах. Определить критическое значение сосредоточенных изгибающих моментов M_cr, соответствующее моменту потери устойчивости шарнирно опертого бруса.  

Ссылки: Биргер И.А., Пановко Я.Г., Прочность. Устойчивость. Колебания, Справочник в трех томах, Том 3, Москва, Машиностроение, 1968, стр.68;

Исходные данные:

L = 10.0 м	- длина шарнирно опертого бруса;
h = b = 1.0 м	- сторона квадратного поперечного сечения шарнирно опертого бруса;
E = 3.0·107 кН/м2	- модуль упругости материала шарнирно опертого бруса;
ν = 0.2	- коэффициент Пуассона;
M = 106 кН·м	- начальное значение сосредоточенных изгибающих моментов, действующих на торцах бруса.

 

Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Рассматриваются две расчетные модели:

Стержневая модель (С), 10 элементов типа 5, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси полосы с шагом 1.0 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы шарнирно опертых торцов бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UZ. Воздействие с начальным значением сосредоточенных изгибающих моментов M задается в узлах торцов бруса. Количество узлов в расчетной схеме – 11;

Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина (П), 2560 восьмиузловых элементов типа 150, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси и высоте бруса с шагом 0.0625 м. Опирание оболочки производится через вертикальные стержни повышенной жесткости (h = b = 1.0 м; E = 3.0·10⁹ кН/м²; ν = 0.2), 64 элемента типа 5. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы торцов бруса, находящиеся на его продольной оси, по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UZ, и на все остальные узлы торцов бруса по направлению степени свободы Y, UZ. Воздействие с начальным значением сосредоточенных изгибающих моментов M задается на узлы торцов бруса, находящиеся на его продольной оси. Количество узлов в расчетной схеме – 8033.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема. Стержневая модель

 

Расчетная схема. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

 

1-ая Форма потери устойчивости. Стержневая модель

 

1-ая Форма потери устойчивости. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

Сравнение решений:

Критическое значение сосредоточенных изгибающих моментов M_cr (кН·м), действующих на торцах шарнирно опертого в плоскости и защемленного из плоскости изгиба бруса

Расчетная модель	Теория	SCAD	Отклонение, %
Стержневая	1316928	1,325369∙106=1325369	0,64
Оболочечная теории Рейсснера-Миндлина	1316928	1,246357∙106=1246357	5,36

Замечания: При аналитическом решении критическое значение сосредоточенных изгибающих моментов M_cr, соответствующее моменту потери устойчивости шарнирно опертого бруса определяется по следующей формуле:

\[ M=\frac{2\cdot \pi \cdot \sqrt {E\cdot I_{z} \cdot G\cdot I_{x} } }{L} \quad G=\frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)} \]

\( I_{z} =\frac{h\cdot b^{3}}{12} \) – наименьший момент инерции изгиба (из плоскости действия момента);

\( I_{x} =k_{f} \cdot h\cdot b^{3} \) – момент инерции свободного кручения, где:

\[ k_{f} =\frac{1}{3}\cdot \left\{ {1-\frac{192}{\pi^{5}}\cdot \frac{b}{h}\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty {\left[ {\sin^{2}\left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \frac{1}{n^{5}}\cdot th\left( {\frac{n\cdot \pi \cdot h}{2\cdot b}} \right)} \right]} } \right\} \]