Устойчивость свободно опертого в плоскости и защемленного из плоскости изгиба бруса квадратного поперечного сечения под действием сосредоточенных продольных изгибающих сил, приложенных к верхним ребрам торцов и равных по значению (продольный изгиб)

Цель: Определение первых двух критических значений сосредоточенных продольных изгибающих сил, равных по значению и действующих на верхних ребрах торцов свободно опертого в плоскости и защемленного из плоскости изгиба бруса квадратного поперечного сечения, соответствующего моменту потери его устойчивости.

Файлы с исходными данными:

Имя файла	Описание файла расчета
Stability_Bar_7_Bar.SPR	Стержневая расчетная модель
Stability_Bar_7_Shell.SPR	Оболочечная расчетная модель

Формулировка задачи: Свободно опертый в плоскости и защемленный из плоскости изгиба брус квадратного поперечного сечения подвергается воздействию сосредоточенных продольных изгибающих сил P, равных по значению и действующих на верхних ребрах его торцов. Определить первые два критические значения сосредоточенных продольных изгибающих сил P_cr1 и P_cr2, соответствующие моменту потери устойчивости свободно опертого бруса.

Ссылки: Тимошенко С.П., Устойчивость стержней, пластин и оболочек, Москва, Наука, 1971, стр.291

Исходные данные:

L = 10.0 м	- длина свободно опертого бруса;
h = b = 1.0 м	- сторона квадратного поперечного сечения свободно опертого бруса;
E = 3.0·10⁷ кН/м²	- модуль упругости материала свободно опертого бруса;
ν = 0.2	- коэффициент Пуассона;
P = 10⁶ кН	- начальное значение сосредоточенных продольных изгибающих сил, действующих на верхних ребрах торцов бруса.

Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Рассматриваются две расчетные модели:

Стержневая модель (С), 10 элементов типа 5, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси полосы с шагом 1.0 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы свободно опертых торцов бруса по направлениям степеней свободы Y, Z, UZ. В целях обеспечения геометрической неизменяемости на узел середины пролета бруса накладываются связи по направлениям степеней свободы X, UX. К узлам торцов бруса примыкают 2 двухузловых элемента типа 100 (трехмерное твердое тело), расположенных вертикально вверх с длиной, равной h/2. На верхние узлы элементов твердых тел накладывается связь по направлению UZ. Воздействие с начальным значением сосредоточенных продольных изгибающих сил P задается в верхних узлах элементов твердых тел (повышенные точки приложения). Количество узлов в расчетной схеме – 13;

Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина (П), 2560 восьмиузловых элементов типа 150, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси и высоте бруса с шагом 0.0625 м. Опирание оболочки производится через вертикальные стержни повышенной жесткости (h = b = 1.0 м; E = 3.0·10⁹ кН/м²; ν = 0.2), 64 элемента типа 5. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы торцов бруса, находящиеся на его продольной оси, по направлениям степеней свободы Y, Z, UZ и на все остальные узлы торцов бруса по направлению степени свободы Y, UZ. В целях обеспечения геометрической неизменяемости на узел середины пролета бруса по его продольной оси накладывается связь по направлению степени свободы X. Воздействие с начальным значением сосредоточенных продольных изгибающих сил P задается в узлах, расположенных на торцах и отстоящих по высоте от продольной оси бруса на h/2. Количество узлов в расчетной схеме – 8033.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема. Стержневая модель

Расчетная схема. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

1-ая Форма потери устойчивости. Стержневая модель

2-ая Форма потери устойчивости. Стержневая модель

1-ая Форма потери устойчивости. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

2-ая Форма потери устойчивости. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

Сравнение решений:

Критические значения сосредоточенных продольных изгибающих сил P_cr1 и P_cr2 (кН), действующих на верхних ребрах торцов свободно опертого в плоскости и защемленного из плоскости изгиба бруса

Расчетная модель	Форма потери устойчивости	Теория	SCAD	Отклонение, %
Стержневая	1-ая	246741	0,246740∙10⁶=246740	0,00
Стержневая	2-ая	877429	0,877630∙10⁶=877630	0,02
Оболочечная теории Рейсснера-Миндлина	1-ая	246741	0,241230∙10⁶=241230	2,23
Оболочечная теории Рейсснера-Миндлина	2-ая	877429	0,805670∙10⁶=61753	8,18

Замечания: При аналитическом решении критические значения сосредоточенных продольных изгибающих сил P_cr1 и P_cr2, соответствующих моментам потери устойчивости свободно опертого бруса, определяются по следующим формулам:

\[ P_{1} =\frac{\pi^{2}\cdot E\cdot I_{y} }{L^{2}} \quad P_{2} =\frac{2\cdot G\cdot I_{x} }{h^{2}}\cdot \left( {-1+} \right.\left. {\sqrt {1+\frac{4\cdot \pi^{2}\cdot h^{2}}{L^{2}}\cdot \frac{E\cdot I_{z} }{G\cdot I_{x} }} } \right) \quad G=\frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)} \]

\( I_{z} =\frac{h\cdot b^{3}}{12} \) – наименьший момент инерции изгиба (из плоскости действия момента);

\( I_{y} =\frac{b\cdot h^{3}}{12} \) – наибольший момент инерции изгиба (в плоскости действия момента);

\( I_{x} =k_{f} \cdot h\cdot b^{3} \) – момент инерции свободного кручения, где:

\[ k_{f} =\frac{1}{3}\cdot \left\{ {1-\frac{192}{\pi^{5}}\cdot \frac{b}{h}\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty {\left[ {\sin^{2}\left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \frac{1}{n^{5}}\cdot th\left( {\frac{n\cdot \pi \cdot h}{2\cdot b}} \right)} \right]} } \right\} \]