Устойчивость консольного бруса квадратного поперечного сечения под действием равномерно распределенной по его продольной оси нагрузки (прямой изгиб)

Цель: Определение критического значения равномерно распределенной нагрузки, действующей по продольной оси консольного бруса квадратного поперечного сечения, соответствующего моменту потери его устойчивости.

Файлы с исходными данными:

Имя файла	Описание файла расчета
Stability_Bar_8_Bar.SPR	Стержневая расчетная модель
Stability_Bar_8_Shell.SPR	Оболочечная расчетная модель
Stability_Bar_8_Solid.SPR	Объемная расчетная модель

Формулировка задачи: Консольный брус квадратного поперечного сечения подвергается воздействию равномерно распределенной нагрузки q, действующей по его продольной оси. Определить критическое значение равномерно распределенной нагрузки q_cr, соответствующее моменту потери устойчивости консольного бруса.

Ссылки: А. С. Вольмир, Устойчивость деформируемых систем, Москва, Наука, 1967, стр.217;

Исходные данные:

L = 10.0 м	- длина консольного бруса;
h = b = 1.0 м	- сторона квадратного поперечного сечения консольного бруса;
E = 3.0·10⁷ кН/м²	- модуль упругости материала консольного бруса;
ν = 0.2	- коэффициент Пуассона;
q = 10⁵ кН/м	- начальное значение равномерно распределенной нагрузки, действующей по продольной оси бруса.

Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Рассматриваются три расчетные модели:

Стержневая модель (С), 10 элементов типа 5, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси полосы с шагом 1.0 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узел защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением равномерно распределенной нагрузки q задается на всех элементах бруса. Количество узлов в расчетной схеме – 11;

Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина (П), 2560 восьмиузловых элементов типа 150, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси и высоте бруса с шагом 0.0625 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением равномерно распределенной по линии нагрузки q задается на верхних сторонах всех элементов бруса, расположенных под его продольной осью. Количество узлов в расчетной схеме – 8033.

Объемная модель (О), 5120 двадцатиузловых элементов типа 37, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси, ширине и высоте бруса с шагом 0.125 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением равномерно распределенной по грани нагрузки q_A = q/ b задается на верхних гранях всех элементов бруса, расположенных под его продольной осью. Количество узлов в расчетной схеме – 24705.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема. Стержневая модель

Расчетная схема. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

Расчетная схема. Объемная модель

1-ая Форма потери устойчивости. Стержневая модель

1-ая Форма потери устойчивости. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

1-ая Форма потери устойчивости. Объемная модель

Сравнение решений:

Критическое значение равномерно распределенной нагрузки q_cr, действующей по продольной оси консольного бруса

Расчетная модель	Теория	SCAD	Отклонение, %
Стержневая	26933	0,268111∙10⁵=26811	0,45
Оболочечная теории Рейсснера-Миндлина	26933	0,260448∙10⁵=26045	3,30
Объемная	26933	0,253906∙10⁵=25391	5,73

Расчетная модель

Теория

SCAD

Отклонение, %

Стержневая

26933

0,268111∙10⁵=26811

0,45

Оболочечная теории

Рейсснера-Миндлина

26933

0,260448∙10⁵=26045

3,30

Объемная

26933

0,253906∙10⁵=25391

5,73

Замечания: При аналитическом решении критическое значение равномерно распределенной нагрузки q_cr, соответствующее моменту потери устойчивости консольного бруса определяется по следующей формуле:

\[ q=\frac{12,85\cdot \sqrt {E\cdot I_{z} \cdot G\cdot I_{x} } }{L^{3}} \quad G=\frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)} \]

\( I_{z} =\frac{h\cdot b^{3}}{12} \) – наименьший момент инерции изгиба (из плоскости действия момента);

\( I_{x} =k_{f} \cdot h\cdot b^{3} \) – момент инерции свободного кручения, где:

\[ k_{f} =\frac{1}{3}\cdot \left\{ {1-\frac{192}{\pi^{5}}\cdot \frac{b}{h}\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty {\left[ {\sin^{2}\left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \frac{1}{n^{5}}\cdot th\left( {\frac{n\cdot \pi \cdot h}{2\cdot b}} \right)} \right]} } \right\} \]