Устойчивость консольного бруса квадратного поперечного сечения под действием равномерно распределенной нагрузки по продольной оси его верхней грани (прямой изгиб)

Цель: Определение критического значения равномерно распределенной нагрузки, действующей по продольной оси верхней грани консольного бруса квадратного поперечного сечения, соответствующего моменту потери его устойчивости.

Файлы с исходными данными:

Имя файла	Описание файла расчета
Stability_Bar_9_Bar.SPR	Стержневая расчетная модель
Stability_Bar_9_Shell.SPR	Оболочечная расчетная модель
Stability_Bar_9_Solid.SPR	Объемная расчетная модель

Формулировка задачи: Консольный брус квадратного поперечного сечения подвергается воздействию равномерно распределенной нагрузки q, действующей по продольной оси его верхней грани. Определить критическое значение равномерно распределенной нагрузки q_cr, соответствующее моменту потери устойчивости консольного бруса.  

Ссылки: Тимошенко С.П., Устойчивость стержней, пластин и оболочек, Москва, Наука, 1971, стр.303

Исходные данные:

L = 10.0 м	- длина консольного бруса;
h = b = 1.0 м	- сторона квадратного поперечного сечения консольного бруса;
E = 3.0·107 кН/м2	- модуль упругости материала консольного бруса;
ν = 0.2	- коэффициент Пуассона;
q = 105 кН/м	- начальное значение равномерно распределенной нагрузки, действующей по продольной оси верхней грани бруса.

 

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида. Рассматриваются три расчетные модели:

 

Стержневая модель (С), 10 элементов типа 5, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси полосы с шагом 1.0 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узел защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. К узлам бруса примыкают  11 двухузловых элементов типа 100 (трехмерное твердое тело), расположенных вертикально вверх с длиной, равной h/2. Воздействие с начальным значением равномерно распределенной нагрузки q задается в свободных узлах элементов твердого тела (повышенная точка приложения) в виде сосредоточенных сил P = q·b·1.0 = 10⁵ кН (0.5·10⁵ кН для крайних узлов). Количество узлов в расчетной схеме – 22;

Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина (П), 2560 восьмиузловых элементов типа 150, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси и высоте бруса с шагом 0.0625 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением равномерно распределенной по линии нагрузки q задается на верхних сторонах всех элементов бруса, расположенных под его верхней гранью. Количество узлов в расчетной схеме – 8033.

Объемная модель (О), 5120 двадцатиузловых элементов типа 37, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси, ширине и высоте бруса с шагом 0.125 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы защемленного торца бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением равномерно распределенной по грани нагрузки q_A = q/ b задается на верхних гранях всех элементов бруса, расположенных под его верхней гранью. Количество узлов в расчетной схеме – 24705.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема. Стержневая модель

 

Расчетная схема. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

 

Расчетная схема. Объемная модель

 

1-ая Форма потери устойчивости. Стержневая модель

1-ая Форма потери устойчивости. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

 

1-ая Форма потери устойчивости. Объемная модель

 

Сравнение решений:

Критическое значение равномерно распределенной нагрузки q_cr, действующей по продольной оси верхней грани консольного бруса

Расчетная модель	Теория	SCAD	Отклонение, %
Стержневая	23737	0,236895∙105=23690	0,20
Оболочечная теории Рейсснера-Миндлина	23737	0,233316∙105=23332	1,71
Объемная	23737	0,246094∙105=24609	3,67

Замечания: При аналитическом решении критическое значение равномерно распределенной нагрузки q_cr, соответствующее моменту потери устойчивости консольного бруса определяется по следующей формуле:

\[ q=\frac{12,85\cdot \sqrt {E\cdot I_{z} \cdot G\cdot I_{x} } }{L^{3}}\cdot k_{h} \quad k_{h} =f\left( {\frac{h}{2\cdot L}\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I_{z} }{G\cdot I_{x} }} } \right) \quad G=\frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)} \]

\( I_{z} =\frac{h\cdot b^{3}}{12} \) – наименьший момент инерции изгиба (из плоскости действия момента);

\( I_{x} =k_{f} \cdot h\cdot b^{3} \) – момент инерции свободного кручения, где: