Устойчивость шарнирно опертого в плоскости и защемленного из плоскости изгиба бруса квадратного поперечного сечения под действием сосредоточенной поперечной изгибающей силы, приложенной в середине пролета в уровне продольной оси (поперечный изгиб)

Цель: Определение критического значения сосредоточенной поперечной изгибающей силы, действующей в середине пролета в уровне продольной оси шарнирно опертого в плоскости и защемленного из плоскости изгиба бруса квадратного поперечного сечения, соответствующего моменту потери его устойчивости.

Файлы с исходными данными:

Имя файла	Описание файла расчета
Stability_Bar_12_Bar.SPR	Стержневая расчетная модель
Stability_Bar_12_Shell.SPR	Оболочечная расчетная модель

Формулировка задачи: Шарнирно опертый в плоскости и защемленный из плоскости изгиба брус квадратного поперечного сечения подвергается воздействию сосредоточенной поперечной изгибающей силы P, действующей в середине его пролета в уровне продольной оси. Определить критическое значение сосредоточенной поперечной изгибающей силы P, соответствующее моменту потери устойчивости шарнирно опертого бруса.

Ссылки: Вольмир А.С., Устойчивость деформируемых систем, Москва, Наука, 1967, стр.220

Исходные данные:

L = 10.0 м	- длина шарнирно опертого бруса;
h = b = 1.0 м	- сторона квадратного поперечного сечения шарнирно опертого бруса;
E = 3.0·10⁷ кН/м²	- модуль упругости материала шарнирно опертого бруса;
ν = 0.2	- коэффициент Пуассона;
P = 10⁶ кН	- начальное значение сосредоточенной поперечной изгибающей силы, действующей в середине пролета в уровне продольной оси бруса.

Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Рассматриваются две расчетные модели:

Стержневая модель (С), 10 элементов типа 5, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси полосы с шагом 1.0 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы шарнирно опертых торцов бруса по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UZ. Воздействие с начальным значением сосредоточенной поперечной изгибающей силы P задается в узле середины пролета бруса. Количество узлов в расчетной схеме – 11;

Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина (П), 2560 восьмиузловых элементов типа 150, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси и высоте бруса с шагом 0.0625 м. Опирание оболочки производится через вертикальные стержни повышенной жесткости (h = b = 1.0 м; E = 3.0·10⁹ кН/м²; ν = 0.2), 64 элемента типа 5. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы торцов бруса, находящиеся на его продольной оси, по направлениям степеней свободы X, Y, Z , UZ и на все остальные узлы торцов бруса по направлению степеней свободы Y, UZ. Воздействие с начальным значением сосредоточенной поперечной изгибающей силы P задается в узле, расположенном в середине пролета в уровне продольной оси бруса. Количество узлов в расчетной схеме – 8033.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема. Стержневая модель

Расчетная схема. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

1-ая Форма потери устойчивости. Стержневая модель

1-ая Форма потери устойчивости. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

Сравнение решений:

Критическое значение сосредоточенной поперечной изгибающей силы P_cr (кН), действующей в середине пролета в уровне продольной оси шарнирно опертого в плоскости и защемленного из плоскости изгиба бруса

Расчетная модель	Теория	SCAD	Отклонение, %
Стержневая	559620	0,541779∙10⁶=541779	3,19
Оболочечная теории Рейсснера-Миндлина	559620	0,506897∙10⁶=506897	9,42

Расчетная модель

Теория

SCAD

Отклонение, %

Стержневая

559620

0,541779∙10⁶=541779

3,19

Оболочечная теории

Рейсснера-Миндлина

559620

0,506897∙10⁶=506897

9,42

Замечания: При аналитическом решении критическое значение сосредоточенной поперечной изгибающей силы P_cr, соответствующее моменту потери устойчивости шарнирно опертого бруса, определяется по следующей формуле:

\[ P=\frac{26,70\cdot \sqrt {E\cdot I_{z} \cdot G\cdot I_{x} } }{L^{2}} \quad G=\frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)} \]

\( I_{z} =\frac{h\cdot b^{3}}{12} \) – наименьший момент инерции изгиба (из плоскости действия момента);

\( I_{y} =\frac{b\cdot h^{3}}{12} \) – наибольший момент инерции изгиба (в плоскости действия момента);

\( I_{x} =k_{f} \cdot h\cdot b^{3} \) – момент инерции свободного кручения, где:

\[ k_{f} =\frac{1}{3}\cdot \left\{ {1-\frac{192}{\pi^{5}}\cdot \frac{b}{h}\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty {\left[ {\sin^{2}\left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \frac{1}{n^{5}}\cdot th\left( {\frac{n\cdot \pi \cdot h}{2\cdot b}} \right)} \right]} } \right\} \]