Устойчивость шарнирно опертой в плоскости и из плоскости изгиба балки двутаврового поперечного сечения под действием равномерно распределенной нагрузки по продольной оси ее верхней полки (прямой изгиб)

Цель: Определение критического значения равномерно распределенной нагрузки, действующей по продольной оси верхней полки шарнирно опертой в плоскости и из плоскости изгиба балки двутаврового поперечного сечения, соответствующего моменту потери ее устойчивости.

Файлы с исходными данными:

Имя файла	Описание файла расчета
Stability_Flanged_Beam_4_Bar.SPR Flanged_Beam.tns	Стержневая расчетная модель Тонкостенное поперечное сечение балки
Stability_Flanged_Beam_4_Shell.SPR	Оболочечная расчетная модель

Формулировка задачи: Шарнирно опертая в плоскости и из плоскости изгиба балка двутаврового поперечного сечения подвергается воздействию равномерно распределенной нагрузки q, действующей по продольной оси ее верхней полки. Определить критическое значение равномерно распределенной нагрузки q_cr, соответствующее моменту потери устойчивости шарнирно опертой балки.  

Ссылки: Вольмир А.С., Устойчивость деформируемых систем, Москва, Наука, 1967, стр.222;

Исходные данные:

L = 10.0 м	- длина шарнирно опертой балки;
E = 3.0·107 кН/м2	- модуль упругости материала шарнирно опертой балки;
ν = 0.2	- коэффициент Пуассона;
b = bf = 0.5 м	- ширина полок поперечного сечения шарнирно опертой балки;
t = tf = 0.04 м	- толщина полок поперечного сечения шарнирно опертой балки;
hw = 1.0 м	- высота стенки поперечного сечения шарнирно опертой балки;
tw = 0.02 м	- толщина стенки поперечного сечения шарнирно опертой балки;
q = 102 кН/м	- начальное значение поперечной равномерно распределенной нагрузки, действующей по продольной оси верхней полки балки.

 

Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Рассматриваются две расчетные модели:

Стержневая модель (С), 10 элементов типа 5, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси балки с шагом 1.0 м. Приведенная жесткость поперечного сечения на свободное кручение шарнирно опертой балки с учетом влияния депланации вычисляется по формуле: \( G\cdot I_{x\_{red}} =G\cdot I_{x} +\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\cdot E\cdot I_{\omega } \). Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы шарнирно опертых торцов балки по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX. К узлам бруса примыкают  11 двухузловых элементов типа 100 (трехмерное твердое тело), расположенных вертикально вверх с длиной, равной h/2. Воздействие с начальным значением равномерно распределенной нагрузки q задается в свободных узлах элементов твердого тела (повышенная точка приложения) в виде сосредоточенных сил P = q·1.0 = 10² кН (0.5·10² кН для крайних узлов). Количество узлов в расчетной схеме – 22;

Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина (П), 2560 восьмиузловых элементов балки типа 150, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси и высоте балки с шагом 0.0625 м. Во избежание местной потери устойчивости стенки и полок балки с шагом 1.0 м по длине поставлены вертикальные ребра жесткости (h_w = 1.0 м; b_w = 0.5  м; t_w = 0.02 м; E = 3.0·10⁷ кН/м²; ν = 0.2), 3968 элементов типа 150. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы торцов балки, находящиеся на его продольной оси, по направлениям степеней свободы X, Y, Z, и на все остальные узлы торцов балки по направлению степени свободы Y. Воздействие с начальным значением равномерно распределенной по линии нагрузки q задается на верхних сторонах всех элементов стенки балки, расположенных под ее верхней полкой. Количество узлов в расчетной схеме – 19793.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема. Стержневая модель

 

Расчетная схема. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

 

1-ая Форма потери устойчивости. Стержневая модель

 

1-ая Форма потери устойчивости. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина

 

Сравнение решений:

 

Критическое значение равномерно распределенной нагрузки q_cr (кН/м), действующей по продольной оси верхней полки шарнирно опертой в плоскости из плоскости изгиба балки

Расчетная модель	Теория	SCAD	Отклонение, %
Стержневая	93	0,943201∙100= = 94	1,54
Оболочечная теории Рейсснера-Миндлина	93	0,949310∙100= = 95	1,87

Замечания: При аналитическом решении критическое значение поперечной равномерно распределенной нагрузки qcr, соответствующее моменту потери устойчивости шарнирно опертой балки определяется по следующей формуле:

\[ q=\frac{28,32\cdot \sqrt {E\cdot I_{z} \cdot G\cdot I_{x} } }{L^{3}}\cdot \chi \cdot k_{h} \quad \chi =\sqrt {1+\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\cdot \frac{E\cdot I_{\omega } }{G\cdot I_{x} }} \quad G=\frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)} \] \[ k_{h} =\sqrt {1+\frac{20,32}{\pi^{2}}\cdot \frac{E\cdot I_{\omega } }{G\cdot I_{x} \cdot L^{2}+\pi^{2}\cdot E\cdot I_{\omega } }} -\frac{4,50}{\pi }\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I_{\omega } }{G\cdot I_{x} \cdot L^{2}+\pi^{2}\cdot E\cdot I_{\omega } }} \]

\( I_{z} =\frac{h_{w} \cdot t_{w}^{3}}{12}+2\cdot \frac{b_{f}^{3}\cdot t_{f} }{12} \) – наименьший момент инерции изгиба (из плоскости действия момента);

\( I_{\omega } =\frac{h_{w}^{2}\cdot b_{f}^{3}\cdot t_{f} }{24} \) – секториальный момент инерции стесненного кручения;

\( I_{x} =2\cdot k_{f} \cdot b_{f} \cdot t_{f}^{3}+k_{w} \cdot h_{w} \cdot t_{w}^{3} \) – момент инерции свободного кручения, где:

\[ k_{f} =\frac{1}{3}\cdot \left\{ {1-\frac{192}{\pi^{5}}\cdot \frac{t_{f} }{b_{f} }\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty {\left[ {\sin^{2}\left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \frac{1}{n^{5}}\cdot th\left( {\frac{n\cdot \pi \cdot h}{2\cdot b}} \right)} \right]} } \right\}, \] \[ k_{w} =\frac{1}{3}\cdot \left\{ {1-\frac{192}{\pi^{5}}\cdot \frac{t_{w} }{h_{w} }\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty {\left[ {\sin^{2}\left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \frac{1}{n^{5}}\cdot th\left( {\frac{n\cdot \pi \cdot h}{2\cdot b}} \right)} \right]} } \right\} \]