Спектр ответа абсолютных ответных ускорений линейного осциллятора, установленного в середине пролета свободно опертой балки с распределенной массой под действием кинематического возмущения опор (сейсмическое воздействие)

Цель: Определение спектра ответа ответных ускорений линейного осциллятора, установленного в середине пролета свободно опертой балки с распределенной массой от воздействия кинематического возмущения опор.

Имя файлов с исходными данными:

DIN_B_RS.SPR – расчетная схема
DIN_B_RS.SPC – акселерограмма

Формулировка задачи: Свободно опертая балка постоянного сечения с равномерно распределенной массой μ подвергается воздействию кинематического возмущения опор по заданной акселерограмме:

\[ \ddot{{z}}(t)=\ddot{{z}}_{s0} \cdot \left( {1-\frac{t}{t_{d} }} \right). \]

Определить спектр ответа абсолютных ответных ускорений линейного осциллятора, установленного в середине пролета.

Ссылки: John M. Biggs, Introduction to Structural Dynamics, McGraw-Hill Book Companies, New York, 1964, p.256-263;

В. А. Киселев, Строительная механика. Специальный курс. Динамика и устойчивость сооружений. Москва, Стройиздат, 1980, стр. 65-67.

Исходные данные:

E = 3.0·10⁷ psi = 2.1092·10⁷ тс/м²	- модуль упругости;
I = 333.333 in⁴ = 138.7448·10^-6 м⁴	- момент инерции поперечного сечения балки.
h = 14 in = 0.3556 м	- высота поперечного сечения балки;
L = 240 in = 6.0960 м	- длина пролета балки;
μ = 0.2 lb·sec²/in² = 0.1406 тс·с²/м²	- значение равномерно распределенной массы балки;
\( \ddot{{z}}_{s0} \) = ±386.2200 in/sec² = ±9.81 м/с²	- амплитудные значения ускорения опор по акселерограмме;
t_d = 0.10 sec = 0.10 с	- полуинтервал воздействия кинематического возмущения опор;
g = 386.2200 in/sec² =9.81 м/с²	- значение ускорения свободного падения;

Конечноэлементная модель: Расчетная схема – балочный ростверк / плита, 32 стержневых элемента типа 3. Обеспечение граничных условий по свободно опертым торцам балки достигается за счет наложения связей по направлению степени свободы Z. Геометрическая неизменяемость расчетной схемы обеспечивается за счет наложения связи в узле поперечного сечения оси симметрии балки по направлению степени свободы UX. Распределенная масса задается преобразованием статической нагрузки от собственного веса балки μ·g.

Кинематическое возмущение опор описывается графиком изменения ускорения во времени (акселерограммой) и задается в виде воздействия по оси Z общей системы координат (направляющие косинусы к осям X, Y, Z: 0.00, 0.00, 1.00) с масштабным множителем к значениям акселерограммы, равным 1.00. Высота конструкции балки на схеме сориентирована по оси Z общей системы координат. Коэффициент диссипации (коэффициент поглощения энергии колебаний) для осцилляторов и объекта принят с минимальным значением ξ = 0.000001. Интервалы между моментами времени графика ускорения во времени равны Δt = 0.01 c. При построении графика ускорение принимается со значениями \( \ddot{{z}}(t)=\ddot{{z}}_{s0} \cdot \left( {1-n \cdot \Delta t} / {t_{d} } \right). \) в моменты времени n·Δt. Коэффициент пересчета для присоединенного статического загружения равен k = 1.000 (формирование масс). Количество узлов в расчетной схеме – 33.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема и заданная акселерограмма

Сравнение решений:

Сравнение производилось с решением задачи, полученным в программе Abaqus (решение предоставлено А.И. Поповым — АО Атомпроект).

Частота	Ускорение
Гц	g
Гц	Abaqus	SCAD
0	0,0000	0,0000
0,05	0,0000	0,0007
0,1	0,0000	0,0029
0,15	0,0000	0,0064
0,2	0,0000	0,0114
0,25	0,0038	0,0178
0,3	0,0027	0,0256
0,35	0,0216	0,0347
0,4	0,0200	0,0452
0,45	0,0490	0,0569
0,5	0,0503	0,0700
0,55	0,0832	0,0842
0,6	0,0881	0,0997
0,65	0,1218	0,1163
0,7	0,1312	0,1340
0,75	0,1642	0,1528
0,8	0,1799	0,1726
0,85	0,2096	0,1934
0,9	0,2310	0,2152
0,95	0,2565	0,2378
1	0,2824	0,2613
1,05	0,3045	0,2855
1,1	0,3338	0,3105
1,15	0,3625	0,3362
1,2	0,3876	0,3626
1,25	0,4182	0,3895
1,3	0,4481	0,4171
1,35	0,4758	0,4453
1,4	0,5043	0,4739
1,45	0,5395	0,5030
1,5	0,5690	0,5325
1,55	0,5964	0,5625
1,6	0,6324	0,5928
1,65	0,6656	0,6235
1,7	0,6953	0,6545
1,75	0,7270	0,6857
1,8	0,7628	0,7171
1,85	0,7932	0,7487
1,9	0,8267	0,7804
1,95	0,8572	0,8121
2	0,8939	0,8441
2,05	0,9265	0,8760
2,1	0,9559	0,9079
2,15	0,9913	0,9398
2,2	1,0234	0,9717
2,25	1,0561	1,0035
2,3	1,0887	1,0353
2,35	1,1193	1,0669
2,4	1,1498	1,0984
2,45	1,1855	1,1298
2,5	1,2171	1,1611
2,55	1,2467	1,1923
2,6	1,2762	1,2234
2,65	1,3048	1,2544
2,7	1,3405	1,2853
2,75	1,3721	1,3160
2,8	1,4027	1,3465
2,85	1,4312	1,3769
2,9	1,4597	1,4071
2,95	1,4862	1,4370
3	1,5158	1,4667
3,05	1,5454	1,4963
3,1	1,5749	1,5255
3,15	1,6045	1,5546
3,2	1,6320	1,5832
3,25	1,6595	1,6115
3,3	1,6860	1,6395
3,35	1,7115	1,6671
3,4	1,7370	1,6943
3,45	1,7604	1,7211
3,5	1,7829	1,7476
3,55	1,8084	1,7736
3,6	1,8318	1,7994
3,65	1,8583	1,8247
3,7	1,8838	1,8499
3,75	1,9093	1,8744
3,8	1,9337	1,8989
3,85	1,9541	1,9226
3,9	1,9776	1,9629
3,95	2,0000	2,0807
4	2,0224	2,1999
4,05	2,0438	2,3202
4,1	2,1244	2,4415
4,15	2,1713	2,5635
4,2	2,2895	2,6862
4,25	2,4088	2,8092
4,3	2,5291	2,9324
4,35	2,6493	3,0555
4,4	2,7696	3,1784
4,45	2,8899	3,3009
4,5	2,7768	3,4226
4,55	2,8960	3,5434
4,6	3,0143	3,6631
4,65	3,1325	3,7815
4,7	3,2497	3,8982
4,75	3,3660	4,0132
4,8	3,4811	4,1262
4,85	3,5953	4,2370
4,9	3,8267	4,3453
4,95	3,9368	4,4509
5	4,0449	4,5537
5,05	4,1519	4,6535
5,15	4,3568	4,8429
5,25	4,5515	5,0178
5,35	4,7339	5,1765
5,45	5,1580	5,3179
5,55	5,2915	5,4406
5,65	5,4057	5,5436
5,75	5,5025	5,6259
5,85	5,5800	5,6867
5,95	5,6371	5,7255
6,05	5,6799	5,7418
6,15	5,6922	5,7467
6,25	5,6840	5,7459
6,35	5,6667	5,7410
6,45	5,6616	5,7305
6,55	5,6381	5,7172
6,65	5,6106	5,7002
6,75	5,5933	5,6823
6,85	5,5596	5,6593
6,95	5,5260	5,6326
7,05	5,4760	5,6019
7,15	5,4475	5,5663
7,25	5,4027	5,5263
7,35	5,3435	5,4817
7,45	5,3058	5,4330
7,55	5,2548	5,3803
7,65	5,1906	5,3244
7,75	5,1366	5,2659
7,85	5,0856	5,2063
7,95	5,0214	5,1456
8,05	4,9541	5,0832
8,15	4,8970	5,0199
8,25	4,8298	4,9568
8,35	4,7533	4,8934
8,45	4,6942	4,8276
8,55	4,6259	4,7590
8,65	4,5484	4,6880
8,75	4,4791	4,6150
8,85	4,4108	4,5400
8,95	4,3354	4,4637
9,05	4,2538	4,3856
9,15	4,1876	4,3056
9,25	4,1121	4,2230
9,35	4,0306	4,1386
9,45	3,9602	4,0539
9,55	3,8858	3,9697
9,65	3,8063	3,8864
9,75	3,7278	3,8045
9,85	3,6565	3,7235
9,95	3,5800	3,6425
10,05	3,5005	3,5625
10,25	3,3517	3,4065
10,45	3,1978	3,2517
10,65	3,0510	3,0950
10,85	2,9021	2,9342
11,05	2,7554	2,8493
11,25	2,6320	2,8338
11,45	2,6188	2,8165
11,65	2,6045	2,7987
11,85	2,5851	2,7780
12,05	2,5668	2,7555
12,25	2,5525	2,7311
12,45	2,5352	2,7038
12,65	2,5138	2,6768
12,85	2,4954	2,6496
13,05	2,4791	2,6235
13,25	2,4608	2,6008
13,45	2,4393	2,5794
13,65	2,4190	2,5580
13,85	2,4200	2,5829
14,05	2,4669	2,6253
14,25	2,5025	2,6754
14,45	2,5321	2,7204
14,65	2,5545	2,7508
14,85	2,5668	2,7680
15,05	2,5770	2,7730
15,25	2,5780	2,7656
15,45	2,5708	2,7468
15,65	2,5627	2,7165
15,85	2,5433	2,6732
16,05	2,5270	2,6209
16,25	2,4995	2,5750
16,45	2,4730	2,5384
16,65	2,4383	2,5071
16,85	2,4037	2,4806
17,05	2,3629	2,4496
17,25	2,3221	2,4087
17,45	2,2742	2,3604
17,65	2,2294	2,3022
17,85	2,1774	2,2363
18,05	2,1284	2,1646
18,25	2,0724	2,0879
18,45	2,0204	2,0594
18,65	1,9602	2,1352
18,85	1,9215	2,1977
19,05	1,9541	2,2423
19,25	2,0071	2,2704
19,45	2,0530	2,2876
19,65	2,0968	2,2987
19,85	2,1356	2,3222
20,05	2,1672	2,3682
20,55	2,2365	2,5018
21,05	2,2783	2,5673
21,55	2,3028	2,5700
22,05	2,3007	2,5106
22,55	2,2854	2,3830
23,05	2,2528	2,3421
23,55	2,2039	2,3615
24,05	2,1427	2,3313
24,55	2,0734	2,2381
25,05	1,9949	2,2560
25,55	1,9888	2,2237
26,05	2,0601	2,3334
26,55	2,1142	2,4863
27,05	2,1580	2,5792
27,55	2,1865	2,6055
28,05	2,1988	2,5678
28,55	2,1978	2,4566
29,05	2,1876	2,2866
29,55	2,1702	2,3166
30,05	2,1386	2,4101
30,55	2,0989	2,4521
31,05	2,0520	2,4243
31,55	1,9980	2,3600
32,05	2,0071	2,3904
32,55	2,0520	2,5854
33,05	2,0907	2,7152

График Спектров ответа

	Abaqus	SCAD	Отклонение
Частота, при которой реализуется максимальное ускорение (Гц)	6.15	6.15	0 %
Максимальное ускорение (g)	5,6921	5.7467	0.95 %
Коэффициент корреляции между спектрами	0.995