Определение внутренних усилий при стесненном кручении консольного тонкостенного стержня двутаврового профиля
Цель: Проверить правильность определения значений внутренних усилий при стесненном кручении тонкостенного стержня открытого профиля на примере консольного стержня.
Формулировка задачи: консольный стержень пролетом 3,0 м нагружен крутящим моментом, приложенным на свободном конце консоли. Поперечное сечение стержня принято из тонкостенного двутавра. Определить значения депланаций и бимоментов в сечениях стержня.
Источник: [1] Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. – ГИ ФМЛ, Москва, 1959. – С. 568.
Имя файла с исходными данными:
VlasovAnalyticalSolution_I.spr
Версия программ:
SCAD++ 23.1.1.3
Исходные данные задачи:
| Е = 210000 Н/мм2 | Модуль упругости |
| v = 0.3 | Коэффициент Пуассона |
| Тип сечения: | Тонкостенный двутавр |
| h = 400 мм | Высота сечения (по внешней грани) |
| b = 300 мм | Ширина полки (по внешней грани) |
| tf = 20 мм | Толщина полки двутавра |
| tw = 10 мм | Толщина стенки двутавра |
| Mx = 1000 кН/м | Крутящий момент на свободном конце консоли |
| l = 3.0 м | Длина стержня |
Конечно-элементная модель: расчетная схема консольного стержня – пространственная стержневая система. Ось стержня совмещена с направлением оси x – x глобальной системы координат. На крайней левой опоре задано жесткое защемление – ограничения на поворот относительно осей x – x, y – y, z – z, а также на линейные перемещения в направлении осей x – x, y – y, z – z глобальной системы координат. В промежуточных узлах модели задавалось условие равенства депланаций. В крайних узлах стержня задавалось жесткое защемление по отношению к депланациям, т.е. депланации в этих узлах принимались равными нулю.
Результаты программы SCAD++:
Результирующая эпюра депланаций и бимоментов, вычисленная в SCAD++, представлена на рис. 1 и рис. 2.
Рис. 1. Эпюра депланаций при стесненном кручении консольного стержня с двутавровым сечением, см-1.
Рис. 2. Эпюра бимоментов при стесненном кручении консольного стержня с двутавровым сечением, Нм2.
Сравнение решений
|
Характеристика |
Аналитическое решение, стр. 107 [1] |
Численное решение SCAD Office |
Расхождение, % |
|
Депланация, вычисленная в сечении стержня, расположенном посередине пролета, см-1 |
0,014839025 |
0,0148244 |
0,02 |
|
Модуль бимомента, вычисленного в опорном защемлении стержня, Нм2 |
1358729,598 |
1355982,5 |
-0,32 |
|
Модуль бимомента, вычисленного на свободном конце консоли, Нм2 |
1358729,598 |
1355982,5 |
-0,32 |
Замечание: При аналитическом решении депланация d и бимомент B в сечении, расположенном на расстоянии x от края, могут быть вычислены по следующим формулам
\[\begin{array}{l} {d(x)=\frac{M_{x} }{GI_{t} } \left(-\frac{1-\cosh \; k}{\sinh \; k} \sinh \frac{k}{l} x+1-\cosh \frac{k}{l} x\right),} \\ {B(x)=M_{x} \frac{l}{k} \left(\frac{1-\cosh \; k}{\sinh \; k} \cosh \frac{k}{l} x+\sinh \frac{k}{l} x\right),} \end{array}\] \[k=\sqrt{\frac{GI_{t} }{EI_{\omega } } } \]