Напряженно-деформированное состояние шарнирно опертой балки при продольно-поперечном изгибе

Цель: Продольно-поперечный изгиб в одной плоскости.

Файлы с исходными данными:

4.8_s_c.spr	Продольно-поперечный изгиб при сжимающей продольной силе
4.8_s_t.spr	Продольно-поперечный изгиб при растягивающей продольной силе

Формулировка задачи: Двухопорная балка, находящаяся в условиях чистого изгиба, дополнительно нагружается продольной силой. Определить вертикальные перемещения w(x) и изгибающие моменты M(x) при сжимающей и растягивающей продольной силе.

Ссылки: Расчеты на прочность в машиностроении / Пономарев С.Д., Бидерман В.Л., Лихарев К.К. и др. В трех томах. Том 1. М.: Машгиз, 1956.

Исходные данные:

E = 1.0·1010  Па	- модуль упругости;
μ = 0.3	- коэффициент Пуассона;
F = 1·10-2 м2	- площадь поперечного сечения;
I  = 8.333·10-6 м4	- момент инерции поперечного сечения;
M = 10 кН·м	- значение изгибающего момента;
N  = ±200 кН	- значение сосредоточенной силы;
l = 1.0 м	- длина балки.

 

Конечноэлементная модель: Расчет производится в геометрически линейной постановке для энергетически эквивалентной модели в виде стержня на упругом основании, сопротивляющемся поворотам его сечений с погонным коэффициентом жесткости k_φ = N. Расчетная  схема – плоская рама, 16 стержневых элементов, тип 2, 17 элементов сосредоточенных поворотных (часовых) пружин жесткостью C_UY = -12.5 кН·м/рад (-6.25 кН·м/рад) для сжато-изогнутого стержня и

C_UY = 12.5 кН·м/рад (6.25 кН·м/рад) для растянуто-изогнутого стержня, тип 51, 17 узлов.

Результаты решения в SCAD

Значения перемещения w при сжимающей продольной силе (мм)

Значения изгибающего момента M при сжимающей продольной силе (кН·м)

Значения перемещения w при растягивающей продольной силе (мм)

Значения изгибающего момента M при растягивающей продольной силе (кН·м)

 

Сравнение решений:

Параметр	Сжимающая продольная сила			Растягивающая продольная сила
	Теория	SCAD	Отклонения, %	Теория	SCAD	Отклонения, %
Поперечные перемещения w(0.5·l), мм	-19.959	-19.980	0.11	-11.986	-11.978	0.07
Изгибающий момент M(0.5·l), кН·м	13.992	13.996	0.03	7.603	7.604	0.01

Замечания: При аналитическом решении уравнение упругой линии w(x) и уравнение изгибающего момента M(x) при сжимающей продольной силе определяются по формулам:

\[ w\left( x \right)=\frac{M}{N}\cdot \left[ {\frac{\cos \left( {k\cdot l} \right)-1}{\sin \left( {k\cdot l} \right)}\cdot \sin \left( {k\cdot x} \right)-\cos \left( {k\cdot x} \right)+1} \right]; \] \[ M\left( x \right)=M\cdot \left[ {\frac{1-\cos \left( {k\cdot l} \right)}{\sin \left( {k\cdot l} \right)}\cdot \sin \left( {k\cdot x} \right)+\cos \left( {k\cdot x} \right)} \right], \] где: \[ k=\sqrt {\frac{N}{E\cdot I}} . \]

При аналитическом решении уравнение упругой линии w(x) и уравнение изгибающего момента M(x) при растягивающей продольной силе определяются по формулам:

\[ w\left( x \right)=\frac{M}{N}\cdot \left[ {\frac{1-ch\left( {k\cdot l} \right)}{sh\left( {k\cdot l} \right)}\cdot sh\left( {k\cdot x} \right)+ch\left( {k\cdot x} \right)-1} \right]; \] \[ M\left( x \right)=M\cdot \left[ {\frac{ch\left( {k\cdot l} \right)-1}{sh\left( {k\cdot l} \right)}\cdot sh\left( {k\cdot x} \right)+ch\left( {k\cdot x} \right)} \right], \] где: \[ k=\sqrt {\frac{N}{E\cdot I}} . \]