Консольный круговой стержень постоянного поперечного сечения под действием из его плоскости сосредоточенной силы на свободном конце
Цель: Определение напряженно-деформированного состояния консольного кругового стержня постоянного поперечного сечения от действия из его плоскости сосредоточенной силы на свободном конце.
Файл с исходными данными:
| SSLL07_вариант_1_v11.3.spr | Расчетная схема – система общего вида. Консольный круговой стержень расположен в плоскости XOZ общей системы координат |
Формулировка задачи: Консольный круговой стержень постоянного поперечного сечения нагружается на свободном конце сосредоточенной силой F, действующей из его плоскости. Определить перемещение Y свободного конца стержня из его плоскости (точка B), а также крутящий Mx и изгибающий из плоскости Mz моменты для поперечного сечения, соответствующего центральному углу θ от защемленного конца.
Ссылки: S. Timoshenko, Strength of materials, Part 1: Elementary theory and problem, 3ed, 1955; R.J. Roark, Formulas for stress and strain, 4ed, New York, McGraw-Hill, 1965.
Исходные данные:
| E = 2.0·1011 Па | - модуль упругости консольного кругового стержня; |
| ν = 0.3 | - коэффициент Пуассона; |
| r = 1.0 м | - радиус дуги продольной оси консольного кругового стержня; |
| θ = 90º | - центральный угол длины дуги продольной оси консольного кругового стержня; |
| de = 0.020 м | - наружный диаметр кольцевого поперечного сечения стержня; |
| di = 0.016 м | - внутренний диаметр кольцевого поперечного сечения стержня; |
| F = 100 Н | - значение сосредоточенной силы. |
Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида, 15 стержневых элемента типа 10. Обеспечение граничных условий достигается: за счет наложения связей по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ (точка A). Количество узлов в расчетной схеме – 16.
Результаты решения в SCAD
Расчетная и деформированная схемы
Значения перемещений из плоскости стержня Y (м)
Эпюра крутящих моментов Мx (кН∙м)
Эпюра изгибающих моментов из плоскости стержня Мz (кН∙м)
Сравнение решений:
|
Параметр |
Теория |
SCAD |
Отклонения, % |
|---|---|---|---|
|
Перемещение из плоскости стержня Y (точка B), м |
-1.34462·10-1 |
-1.34364·10-1 |
0.07 |
|
Крутящий момент Mx (θ = 15º), Н∙м |
-74.118 |
-73.981 |
0.18 |
|
Изгибающий момент из плоскости стержня Mz (θ = 15º), Н∙м |
-96.593 |
-96.593 |
0.00 |
Замечания: При аналитическом решении перемещение Y свободного конца стержня из его плоскости (точка B), а также крутящий Mx и изгибающий из плоскости Mz моменты для поперечного сечения, соответствующего центральному углу θ от защемленного конца, определяются по следующим формулам:
\[Y=\frac{F\cdot r^{3}}{E\cdot I}\cdot \left( {\frac{1+3\cdot \lambda }{2}\cdot \frac{\pi }{2}-2\cdot \lambda } \right), где: \] \[ I_{z} =\frac{\pi \cdot d_{e}^{4}}{64}\cdot \left( {1-\left( {\frac{d_{i} }{d_{e} }} \right)^{4}} \right), \quad \lambda =\frac{E\cdot I_{z} }{G\cdot I_{x} }=1+\nu \] (для кольцевого поперечного сечения); \[ M_{x} =F\cdot r\cdot \cos \left( \theta \right); \] \[ M_{z} =F\cdot r\cdot \left( {1-\sin \left( \theta \right)} \right). \]