Изгиб симметричного клина равномерно распределенной нагрузкой, расположенной на поверхности одной из граней клина (задача Леви)

Цель: Определение напряженного состояния симметричного клина единичной толщины в полярных координатах при изгибе равномерно распределенной нагрузкой, расположенной на поверхности одной из граней клина.

Файл с исходными данными: 4_24.spr

Формулировка задачи: К поверхности одной из граней клина, толщина которого равна единице, приложена равномерно распределенная нагрузка q, действующая в плоскости клина по оси Ox₂. Определить компоненты тензора напряжений в полярных координатах σ_rr, σ_θθ, σ_rθ на радиальном расстоянии r = 5.0 м от вершины клина.

Ссылки: С.П. Демидов, Теория упругости. — Москва: Высшая школа, 1979.

Исходные данные:

E = 3.0·107 кПа	- модуль упругости;
μ = 0.2	- коэффициент Пуассона;
h = 1.0 м	- толщина клина;
α = 30º	- угол при вершине клина;
R = 15.0 м	- радиус закрепленного конца клина;
q = 10.0 кН/м	- равномерно распределенная нагрузка, изгибающая клин.

 

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида, элементы клина – 290 восьмиузловых элементов типа 50 и 10 шестиузловых элементов типа 45. Сетка конечных элементов разбита с шагом 0.5 м в радиальном направлении и с шагом 3º в тангенциальном направлении. Направление выдачи внутренних усилий – радиально-тангенциальное. Так как на закрепленном конце клин не испытывает усилий, распределенных по закону аналитического решения, для получения точного решения на радиальном расстоянии r = 5.0 м от воздействия равномерно распределенной нагрузки q радиальное расстояние до закрепленного конца принято равным R = 15.0 м. Количество узлов в расчетной схеме – 961.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема

Значения напряжений σrr (кН/м²) при воздействии равномерно распределенной нагрузки q

Значения напряжений σ_θθ (кН/м²) при воздействии равномерно распределенной нагрузки q

Значения напряжений σ_rθ (кН/м²) при воздействии равномерно распределенной нагрузки q

Сравнение решений:

Компоненты тензора напряжений на радиальном расстоянии r = 5.0 м от вершины клина при воздействии равномерно распределенной нагрузки q.

Угол θ	Напряжения σrr (кН/м2)		Напряжения σθθ (кН/м2)		Напряжения σrθ (кН/м2)
	Теория	SCAD	Теория	SCAD	Теория	SCAD
0º	97.4110	97.3548	-10.0000	-9.9243	0.0000	-2.7111
15º	-5.0000	-5.0011	-5.0000	-5.0000	-14.3903	-14.2629
30º	-107.4110	-107.3501	0.0000	-0.0757	0.0000	-2.7108

Замечания: При аналитическом решении напряжения σ_rr, σ_θθ, σ_rθ  в теле клина при воздействии равномерно распределенной нагрузки q определяются по следующим формулам (С.П. Демидов, Теория упругости. — Москва: Высшая школа, 1979, стр. 276):

\[ \sigma_{rr} =\frac{q}{2\cdot K}\cdot \left[ {2\cdot \alpha -2\cdot \theta -\left( {1-\cos \left( {2\cdot \theta } \right)} \right)\cdot tg\alpha -\sin \left( {2\cdot \theta } \right)} \right]; \] \[ \sigma_{\theta \theta } =\frac{q}{2\cdot K}\cdot \left[ {2\cdot \alpha -2\cdot \theta -\left( {1+\cos \left( {2\cdot \theta } \right)} \right)\cdot tg\alpha +\sin \left( {2\cdot \theta } \right)} \right] \] \[\sigma_{r\theta } =\frac{q}{2\cdot K}\cdot \left[ {1-tg\alpha \cdot \sin \left( {2\cdot \theta } \right)-\cos \left( {2\cdot \theta } \right)} \right], \quad где: \] \[ K=tg\alpha -\alpha . \]