Напряженно-деформированное состояние круговой шарнирно опертой пластины, нагруженной поперечной равномерно распределенной нагрузкой

Цель: Определение напряженно-деформированного состояния круговой шарнирно опертой пластины постоянной толщины, нагруженной поперечной равномерно распределенной нагрузкой.

Файл с исходными данными: 4_14.spr

Формулировка задачи: Круговая шарнирно опертая пластина постоянной толщины нагружается поперечной равномерно распределенной нагрузкой. Определить прогиб w, радиальный уклон θ, радиальный Mr и тангенциальный Mθ изгибающие моменты по оси и по наружному контуру пластины.

Ссылки: С.П. Тимошенко, Пластинки и оболочки. — Москва: ОГИЗ. Гостехиздат, 1948.

Исходные данные:

E = 2.0·108 кПа - модуль упругости;
μ = 0.3 - коэффициент Пуассона;
R = 1.2 м - наружный радиус пластины;
h = 2.0·10-2 м - толщина пластины;
q = 10 кПа - поперечная равномерно распределенная нагрузка.


Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида, элементы пластины – 528 восьмиузловых элементов типа 50 и 48 шестиузловых элементов типа 45. Направление выдачи внутренних усилий – радиально-тангенциальное. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей по направлению степени свободы Z по наружному контуру пластины. Количество узлов в расчетной схеме – 1729.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема


Значения прогибов w (мм)


Значения радиальных уклонов θ (рад)


Значения радиальных изгибающих моментов Mr (кН·м/м)


Значения тангенциальных изгибающих моментов Mθ (кН·м/м)

 

Сравнение решений:

 

Параметр

По оси пластины

По наружному контуру пластины

Теория

SCAD

Отклонения, %

Теория

SCAD

Отклонения, %

w, мм

-9.015

-9.024

0.10

0.000

0.000

-

θ, рад

0.000000

0.000000

-

0.011340

0.011392

0.46

Mr, кН·м/м

2.970

2.972

0.07

0.000

0.063

-

Mθ, кН·м/м

2.970

2.972

0.07

1.260

1.226

2.70


Замечания: При аналитическом решении прогиб w, радиальный уклон θ, радиальный Mr и тангенциальный Mθ изгибающие моменты  по оси пластины могут быть вычислены по следующим формулам (С.П. Тимошенко, Пластинки и оболочки. — Москва: ОГИЗ. Гостехиздат, 1948, стр. 66):

\[w=-\frac{q\cdot R^{4}\cdot \left( {5+\mu } \right)}{64\cdot D\cdot \left( {1+\mu } \right)}, где: \]\[D=\frac{E\cdot h^{3}}{12\cdot \left( {1-\mu^{2}} \right)}; \] \[ \theta =0; \] \[ M_{r} =\frac{q\cdot R^{2}\cdot \left( {3+\mu } \right)}{16}; \] \[ M_{\theta } =\frac{q\cdot R^{2}\cdot \left( {3+\mu } \right)}{16}. \]

При аналитическом решении прогиб w, радиальный уклон θ, радиальный Mr и тангенциальный Mθ изгибающие моменты по наружному контуру пластины могут быть вычислены по следующим формулам ( С.П. Тимошенко, Пластинки и оболочки. — Москва: ОГИЗ. Гостехиздат, 1948, стр. 66):

\[ w=0; \] \[\theta =\frac{q\cdot R^{3}}{8\cdot D\cdot \left( {1+\mu } \right)}, где: \]\[D=\frac{E\cdot h^{3}}{12\cdot \left( {1-\mu^{2}} \right)}; \] \[ M_{r} =0; \] \[ M_{\theta } =\frac{q\cdot R^{2}\cdot \left( {1-\mu } \right)}{8}. \]