Толстая квадратная шарнирно-опертая пластина под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки

Цель: Определение деформированного состояния толстой квадратной шарнирно-опертой пластины от воздействия поперечной равномерно распределенной нагрузки.

Файлы с исходными данными:

толстая_плита_a_h_2.spr Расчетная модель для отношений размеров стороны плиты к толщине a/h = 2.0
толстая_плита_a_h_4.spr Расчетная модель для отношений размеров стороны плиты к толщине a/h = 4.0
толстая_плита_a_h_8.spr Расчетная модель для отношений размеров стороны плиты к толщине a/h = 8.0

 

Формулировка задачи: Толстая квадратная шарнирно-опертая пластина находится под воздействием поперечной равномерно распределенной нагрузки p. Определить прогиб w в центре пластины с учетом деформаций поперечного сдвига.

Ссылки: Л. Г. Доннелл, Балки, пластины и оболочки, Москва, Наука, 1982, стр. 313-316.

Исходные данные:

E = 3.0·107 кПа - модуль упругости,
ν = 0.2 - коэффициент Пуассона,
h = 2.0; 4.0; 8.0 м - толщина пластины;
a = 16.0 м - размер стороны пластины;
p = 100.0 кН/м2 - значение поперечной равномерно распределенной нагрузки.

 

Конечноэлементная модель: Рассматриваются три расчетные модели для отношений размеров стороны плиты к толщине a/h = 8.0; 4.0; 2.0. В каждой модели рассматриваются четыре расчетные схемы с типами конечных элементов: 44, 50 – четырехугольные четырехузловой и восьмиузловой элементы тонких оболочек для расчета по теории Кирхгофа-Лява; 144, 150 – четырехугольные четырехузловой и восьмиузловой элементы толстых оболочек для расчета по теории Рейсснера-Миндлина.

Расчетные схемы строятся для сеток с размерностями: 2x2; 4x4; 8x8; 16x16; 32x32; 64x64.

Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UY для кромок, расположенных вдоль оси X общей системы координат, и X, Y, Z, UX для кромок, расположенных вдоль оси Y общей системы координат.

Результаты решения в SCAD


Расчетные схемы


Прогибы w пластин с отношением a/h = 8.0, м


Прогибы w пластин с отношением a/h = 4.0, м


Прогибы w пластин с отношением a/h = 2.0, м


Сравнение решений:

Прогибы w в центре пластин с отношением a/h = 8.0, м

Тип элемента

SCAD, сетка

Теория

Отклонение

2x2

4x4

8x8

16x16

32x32

64x64

44

0.001065

0.001213

0.001262

0.001274

0.001277

0.001278

0.001278

0.00 %

50

0.001276

0.001278

0.001278

0.001278

0.001278

0.001278

0.00 %

144

0.001472

0.001472

0.001449

0.001443

0.001441

0.001441

0.001369

5.26 %

150

0.001314

0.001364

0.001368

0.001368

0.001368

0.001368

0.07 %

 

Прогибы w в центре пластин с отношением a/h = 4.0, м

Тип элемента

SCAD, сетка

Теория

Отклонение

2x2

4x4

8x8

16x16

32x32

64x64

44

0.000133

0.000152

0.000158

0.000159

0.000160

0.000160

0.000160

0.00 %

50

0.000159

0.000160

0.000160

0.000160

0.000160

0.000160

0.00 %

144

0.000258

0.000246

0.000242

0.000242

0.000241

0.000241

0.000205

17.56 %

150

0.000205

0.000205

0.000205

0.000205

0.000205

0.000205

0.00 %

 

Прогибы w в центре пластин с отношением a/h = 2.0, м

Тип элемента

SCAD, сетка

Теория

Отклонение

2x2

4x4

8x8

16x16

32x32

64x64

44

0.000017

0.000019

0.000020

0.000020

0.000020

0.000020

0.000020

0.00 %

50

0.000020

0.000020

0.000020

0.000020

0.000020

0.000020

0.00 %

144

0.000065

0.000062

0.000061

0.000061

0.000061

0.000061

0.000043

41.86 %

150

0.000043

0.000043

0.000043

0.000043

0.000043

0.000043

0.00 %

 

Замечания: При аналитическом решении прогибы w в центре пластины определяются по следующим формулам:

без учета деформаций поперечного сдвига

\[ w=\frac{12\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)\cdot a^{4}\cdot p}{E\cdot h^{3}}\cdot \left[ {\frac{5}{384}-\sum\limits_{m=1}^\infty {\frac{\sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \left( {4+m\cdot \pi \cdot th\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right)}{m^{5}\cdot \pi^{5}\cdot ch\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)}} } \right] \quad или \] \[ w=\frac{192\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)\cdot a^{4}\cdot p}{\pi ^{6}\cdot E\cdot h^{3}}\cdot \sum\limits_{m=1}^\infty {\sum\limits_{n=1}^\infty {\left[ {\frac{1}{m\cdot n}\cdot \frac{1}{^{\left( {m^{2}+n^{2}} \right)^{2}}}\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \sin \left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)} \right]} } ; \] \[ При \quad \nu \quad = 0.2 w\approx 0.004062\cdot \frac{a^{4}\cdot p}{D}, \quad где: \quad D=\frac{E\cdot h^{3}}{12\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)}. \]

с учетом деформаций поперечного сдвига

\[w=\frac{12\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)\cdot a^{4}\cdot p}{E\cdot h^{3}}\cdot \left[ {\frac{5}{384}-\sum\limits_{m=1}^\infty {\frac{\sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \left( {4+m\cdot \pi \cdot th\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)} \right)}{m^{5}\cdot \pi^{5}\cdot ch\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)}+\frac{8-3\cdot \nu }{10\cdot \left( {1-\nu } \right)}\cdot \left( {\frac{h}{a}} \right)^{2}} \cdot \left( {\frac{1}{32}-\sum\limits_{m=1}^\infty {\frac{\sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)}{m^{3}\cdot \pi^{3}\cdot ch\left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)}} } \right)} \right] \quad или \] \[ w=\frac{192\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)\cdot a^{4}\cdot p}{\pi ^{6}\cdot E\cdot h^{3}}\cdot \sum\limits_{m=1}^\infty {\sum\limits_{n=1}^\infty {\left[ {\frac{1}{m\cdot n}\cdot \frac{1}{^{\left( {m^{2}+n^{2}} \right)^{2}}}\cdot \left[ {1+\frac{\pi^{2}\cdot h^{2}}{5\cdot \left( {1-\nu } \right)\cdot a^{2}}\cdot \left( {m^{2}+n^{2}} \right)} \right]\cdot \sin \left( {\frac{m\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \sin \left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)} \right]} } ; \] \[ При \quad \nu \quad = 0.2 \quad w\approx 0.004062\cdot \frac{a^{4}\cdot p}{D}\cdot \left[ {1+4.533786\cdot \left( {\frac{h}{a}} \right)^{2}} \right], \quad где: \] \[ D=\frac{E\cdot h^{3}}{12\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)}. \]