Цилиндрическая оболочка со свободными торцами при градиенте температуры по толщине (в радиальном направлении)

Цель: Определение напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки со свободными торцами от воздействия градиента температуры по толщине.

Файл с исходными данными: 4_33.spr

Формулировка задачи: Цилиндрическая тонкостенная оболочка, свободная от закреплений, находится под воздействием градиента температуры по толщине. Температуры стенки цилиндра на ее внутренней t₁ и наружной t₂ поверхностях постоянны, температура по толщине стенки изменяется линейно. Определить компоненты тензора напряжений на наружной и внутренней поверхностях оболочки в меридиональном σ_x^ext (σ_x^int) и окружном σ_φ^ext (σ_φ^int)  направлениях, а также радиальные перемещения w.

Ссылки: С.П. Тимошенко. Пластинки и оболочки. — Москва: ОГИЗ. Гостехиздат, 1948.

Исходные данные:

E = 2.1·108 кПа	- модуль упругости;
ν = 0.3	- коэффициент Пуассона;
h = 0.02 м	- толщина стенки оболочки;
a = 1.0 м	- радиус срединной поверхности стенки оболочки;
l = 4.0 м	- длина оболочки;
α = 0.12·10-4 1/ºC	- коэффициент линейного расширения;
t1 = 20 ºC	- температура на внутренней поверхности стенки цилиндра;
t2 = 0 ºC	- температура на наружной поверхности стенки цилиндра.

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида, элементы оболочки – 12800 четырехузловых элементов типа 44. Сетка конечных элементов разбита с шагом 0.025 м  в меридиональном направлении и с шагом 4.5º в окружном направлении. Геометрическая неизменяемость расчетной схемы обеспечивается за счет наложения связей по условиям ее симметрии. Количество узлов в расчетной схеме – 12880.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема

Деформированная схема

Значения радиальных перемещений w (мм)

Значения радиальных перемещений w (мм) для фрагмента схемы из участка с центральным углом 18.0º

Значения напряжений  на наружной поверхности оболочки в меридиональном направлении σ_x^ext (кН/м²)

Значения напряжений  на внутренней поверхности оболочки в меридиональном направлении σ_x^int (кН/м²)

Значения напряжений  на наружной поверхности оболочки в окружном направлении σ_φ^ext (кН/м²)

Значения напряжений  на внутренней поверхности оболочки в окружном направлении σ_φ^int (кН/м²)

Сравнение решений:

x, м	w, мм
	Теория	SCAD	Отклонения, %
0.200	-18.61∙10-3	-18.01∙10-3	3.22
0.250	-13.71∙10-3	-13.20∙10-3	3.72
0.300	-8.14∙10-3	-7.81∙10-3	4.05
0.350	-3.76∙10-3	-3.60∙10-3	4.26
0.400	-1.01∙10-3	-0.97∙10-3	3.96
0.450	0.36∙10-3	0.34∙10-3	5.56
0.500	0.82∙10-3	0.78∙10-3	4.88
0.550	0.79∙10-3	0.75∙10-3	5.06
0.600	0.57∙10-3	0.54∙10-3	5.26
0.650	0.33∙10-3	0.32∙10-3	3.03
0.700	0.15∙10-3	0.14∙10-3	6.67
0.750	0.04∙10-3	0.04∙10-3	0.00
0.800	-0.02∙10-3	-0.02∙10-3	-
0.850	-0.04∙10-3	-0.03∙10-3	-
0.900	-0.03∙10-3	-0.03∙10-3	-
0.950	-0.02∙10-3	-0.02∙10-3	-
1.000	-0.01∙10-3	-0.01∙10-3	-
1.100	0	0	-
1.200	0	0	-
1.300	0	0	-
1.400	0	0	-
1.500	0	0	-
1.600	0	0	-
1.700	0	0	-
1.800	0	0	-
1.900	0	0	-
2.000	0	0	-

x, м	σxext (кН/м2)			σxint (кН/м2)
	Теория	SCAD	Отклонения, %	Теория	SCAD	Отклонения, %
0.200	31761	32052	0.92	-31761	-32090	1.04
0.250	35560	35681	0.34	-35560	-35685	0.35
0.300	37206	37221	0.04	-37206	-37210	0.01
0.350	37553	37519	0.09	-37553	-37505	0.13
0.400	37286	37241	0.12	-37286	-37229	0.15
0.450	36841	36804	0.10	-36841	-36796	0.12
0.500	36441	36418	0.06	-36441	-36414	0.07
0.550	36164	36154	0.03	-36164	-36152	0.03
0.600	36010	36007	0.01	-36010	-36007	0.01
0.650	35945	35947	0.01	-35945	-35947	0.01
0.700	35933	35936	0.01	-35933	-35937	0.01
0.750	35946	35949	0.01	-35946	-35949	0.01
0.800	35965	35967	0.01	-35965	-35968	0.01
0.850	35982	35983	0.00	-35982	-35983	0.00
0.900	35994	35994	0.00	-35994	-35994	0.00
0.950	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.000	36002	36002	0.00	-36002	-36002	0.00
1.100	36002	36002	0.00	-36002	-36002	0.00
1.200	36001	36001	0.00	-36001	-36001	0.00
1.300	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.400	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.500	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.600	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.700	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.800	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.900	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
2.000	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00

 

x, м	σφext (кН/м2)			σφint (кН/м2)
	Теория	SCAD	Отклонения, %	Теория	SCAD	Отклонения, %
0.200	30819	31034	0.70	-38637	-38608	0.08
0.250	32988	33133	0.44	-38748	-38677	0.18
0.300	34652	34726	0.21	-38072	-38003	0.18
0.350	35676	35700	0.07	-37256	-37208	0.13
0.400	36173	36169	0.01	-36598	-36572	0.07
0.450	36328	36313	0.04	-36176	-36167	0.02
0.500	36305	36289	0.04	-35960	-35961	0.00
0.550	36215	36203	0.03	-35883	-35888	0.01
0.600	36123	36116	0.02	-35883	-35888	0.01
0.650	36053	36050	0.01	-35914	-35918	0.01
0.700	36011	36011	0.00	-35949	-35951	0.01
0.750	35991	35992	0.00	-35976	-35977	0.00
0.800	35986	35987	0.00	-35993	-35994	0.00
0.850	35987	35988	0.00	-36002	-36002	0.00
0.900	35991	35992	0.00	-36005	-36005	0.00
0.950	35995	35995	0.00	-36005	-36005	0.00
1.000	35998	35998	0.00	-36004	-36003	0.00
1.100	36000	36000	0.00	-36001	-36001	0.00
1.200	36001	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.300	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.400	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.500	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.600	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.700	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.800	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
1.900	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00
2.000	36000	36000	0.00	-36000	-36000	0.00

Замечания: При аналитическом решении напряжения на наружной и внутренней поверхностях оболочки в меридиональном σ_x^ext (σ_x^int) и окружном σ_φ^ext (σ_φ^int)  направлениях, а также радиальные перемещения w могут быть вычислены по следующим формулам (С.П. Тимошенко. Пластинки и оболочки. — Москва: ОГИЗ. Гостехиздат, 1948, стр. 399), которые дают хорошее приближение "в точках, находящихся на значительном расстоянии от концов оболочки":

\[ w=0.5\cdot \alpha \cdot \left( {t_{1} -t_{2} } \right)\cdot a\cdot \sqrt {\frac{1+\nu }{3\cdot \left( {1-\nu } \right)}} \cdot e^{-\beta \cdot x}\cdot \left( {\sin \left( {\beta \cdot x} \right)-\cos \left( {\beta \cdot x} \right)} \right); \] \[ \sigma_{x}^{ext} =\frac{E\cdot \alpha \cdot \left( {t_{1} -t_{2} } \right)}{2\cdot \left( {1-\nu } \right)}\cdot \left[ {-1+e^{-\beta \cdot x}\cdot \left( {\cos \left( {\beta \cdot x} \right)+\sin \left( {\beta \cdot x} \right)} \right)} \right]; \] \[ \sigma_{x}^{int} =\frac{E\cdot \alpha \cdot \left( {t_{1} -t_{2} } \right)}{2\cdot \left( {1-\nu } \right)}\cdot \left[ {1-e^{-\beta \cdot x}\cdot \left( {\cos \left( {\beta \cdot x} \right)+\sin \left( {\beta \cdot x} \right)} \right)} \right]; \] \[ \sigma_{\phi }^{ext} =\frac{E\cdot \alpha \cdot \left( {t_{1} -t_{2} } \right)}{2\cdot \left( {1-\nu } \right)}\cdot \left[ {-1+\nu \cdot e^{-\beta \cdot x}\cdot \left( {\cos \left( {\beta \cdot x} \right)+\sin \left( {\beta \cdot x} \right)} \right)-\sqrt {\frac{1-\nu^{2}}{3}} \cdot e^{-\beta \cdot x}\cdot \left( {\sin \left( {\beta \cdot x} \right)-\cos \left( {\beta \cdot x} \right)} \right)} \right]; \] \[\sigma_{\phi }^{int} =\frac{E\cdot \alpha \cdot \left( {t_{1} -t_{2} } \right)}{2\cdot \left( {1-\nu } \right)}\cdot \left[ {1-\nu \cdot e^{-\beta \cdot x}\cdot \left( {\cos \left( {\beta \cdot x} \right)+\sin \left( {\beta \cdot x} \right)} \right)-\sqrt {\frac{1-\nu^{2}}{3}} \cdot e^{-\beta \cdot x}\cdot \left( {\sin \left( {\beta \cdot x} \right)-\cos \left( {\beta \cdot x} \right)} \right)} \right], где: \]\[ \beta =\sqrt[4]{\frac{3\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)}{a^{2}\cdot h^{2}}}. \]