Свободно опертая невесомая балка с двумя сосредоточенными массами под действием на одну из них поперечной гармонической возмущающей силы при учете рассеивания энергии на внутреннее трение

Цель: Определение деформированного состояния свободно опертой невесомой балки с двумя сосредоточенными массами от воздействия на одну из них поперечной гармонической возмущающей силы при учете рассеивания энергии на внутреннее трение.

Файлы с исходными данными:
5.12_Harm_L_Damp.spr
График_5.12_Harm_L_Forc_Freq_1.txt
График_5.12_Harm_L_Forc_Freq_2.txt
График_5.12_Harm_L_Forc_Freq_3.txt
График_5.12_Harm_L_Forc_Freq_4.txt
График_5.12_Harm_L_Forc_Freq_5.txt
График_5.12_Harm_L_Forc_Freq_6.txt
График_5.12_Harm_L_Forc_Freq_7.txt

Формулировка задачи: К свободно опертой балке постоянного сечения присоединены два одинаковых груза массой m на расстоянии четверти пролета от каждой из опор. Собственная масса балки по сравнению с массами грузов пренебрегается. В начальный момент времени к одной из масс прикладывается сила P₀, в дальнейшем гармонически изменяющаяся с частотой ω. Определить собственные формы и частоты колебаний p свободно опертой балки, а также прогибы η в поперечных сечениях балки с присоединенными массами во времени при учете рассеивания энергии на внутреннее трение.

Ссылки: С. Д. Пономарев, В. Л. Бидерман, К. К. Лихарев, В. М. Макушин, Н. Н. Малинин, В. И. Феодосьев, Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении. Расчеты при динамической нагрузке. Устойчивость. Ползучесть. Москва, Машгиз, 1952, стр. 153.

Исходные данные:

E = 3.0·10⁶ тс/м²	- модуль упругости;
ν = 0.2	- коэффициент Пуассона;
b = 0.4 м	- ширина прямоугольного поперечного сечения балки;
h = 0.8 м	- высота прямоугольного поперечного сечения балки;
l = 8.0 м	- длина пролета балки;
m = 3.0 тс·с²/м	- значение сосредоточенных масс, присоединенных к балке;
P₀ = 76.8 тс	- амплитудное значение гармонической возмущающей силы, приложенной к одной из масс;
g = 10.00 м/с²	- значение ускорения свободного падения;
I = b·h³/12 = 0.017067	- момент инерции поперечного сечения балки.

Рассматриваются следующие значения частот гармонической возмущающей силы ωi в зависимости от значений частот собственных колебаний балки p_i:

ω_j = 0.5·p₁; 0.95·p₁; 1.05·p₁; 0.5·(p₁+ p₂); 0.95·p₂; 1.05·p₂; 1.5·p₂.

Коэффициенты критического демпфирования по 1-й и 2-й собственным частотам приняты с максимальным значением:

ξ_1,2 = 0.9999.

Конечноэлементная модель: Расчетная схема – плоская рама, 32 стержневых элемента типа 2. Обеспечение граничных условий по свободно опертым торцам балки достигается за счет наложения связей по направлению степени свободы Z. Геометрическая неизменяемость расчетной схемы обеспечивается за счет наложения связи в узле поперечного сечения оси симметрии балки по направлению степени свободы X. Сосредоточенные массы задаются преобразованием статических узловых нагрузок m·g.

Расчет производится в два этапа: сначала модальным анализом определяются собственные формы и частоты колебаний p, затем методом прямого интегрирования уравнений движения определяются прогибы η в поперечных сечениях балки с присоединенными массами во времени. Воздействие поперечной гармонической возмущающей силы описывается графиком изменения нагрузки во времени и задается в виде узловой силы, действующей по оси Z общей системы координат с масштабным множителем 1.0 и временем запаздывания 0.0 с. Интервалы между моментами времени графика изменения нагрузки равны Δt_int = T_j/100, где T_j – период воздействия гармонической возмущающей силы, и соответствуют шагу интегрирования. При построении графика воздействие поперечной гармонической возмущающей силы принимается со значениями P_n = P₀·cos(ω_j·n·Δt_int) в моменты времени n·Δt_int. Продолжительность процесса во времени равна t = 2·T_j. Коэффициент пересчета для присоединенного статического загружения равен k = 0.981 (формирование масс). Количество узлов в расчетной схеме – 33. При решении используется метод модального интегрирования. Определение собственных форм и частот выполнено методом итерации подпространств. При расчете используется матрица сосредоточенных масс.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема

1-я и 2-я собственные формы колебаний

График изменения прогиба η₁ в поперечном сечении балки с присоединенной массой, подверженной воздействию поперечной силы, во времени (м). Частота гармонической возмущающей силы ω₁ = 0.5·p₁

График изменения прогиба η₂ в поперечном сечении балки с присоединенной массой, неподверженной воздействию поперечной силы, во времени (м). Частота гармонической возмущающей силы ω₁ = 0.5·p₁

Амплитудные значения прогиба η1 в поперечном сечении балки с присоединенной массой, подверженной воздействию поперечной силы и деформированные схемы в соответствующие моменты (м). Частота гармонической возмущающей силы ω₁ = 0.5·p₁

Амплитудные значения прогиба η₂ в поперечном сечении балки с присоединенной массой, неподверженной воздействию поперечной силы и деформированные схемы в соответствующие моменты (м).
Частота гармонической возмущающей силы ω₁ = 0.5·p₁

Амплитудное значение прогиба η₁ в поперечном сечении балки с присоединенной массой, подверженной воздействию поперечной силы и деформированная схема в соответствующий момент (м).
Частота гармонической возмущающей силы ω₂ = 0.95·p₁

График изменения прогиба η₂ в поперечном сечении балки с присоединенной массой, неподверженной воздействию поперечной силы, во времени (м).
Частота гармонической возмущающей силы ω₂ = 0.95·p₁

Амплитудные значения прогиба η₁ в поперечном сечении балки с присоединенной массой, подверженной воздействию поперечной силы и деформированные схемы в соответствующие моменты (м).
Частота гармонической возмущающей силы ω₂ = 0.95·p₁

График изменения прогиба η₂ в поперечном сечении балки с присоединенной массой, неподверженной воздействию поперечной силы, во времени (м).
Частота гармонической возмущающей силы ω₃ = 1.05·p₁

График изменения прогиба η₂ в поперечном сечении балки с присоединенной массой, неподверженной воздействию поперечной силы, во времени (м).
Частота гармонической возмущающей силы ω₄ = 0.5·(p₁+ p₂)

График изменения прогиба η₂ в поперечном сечении балки с присоединенной массой, неподверженной воздействию поперечной силы, во времени (м).
Частота гармонической возмущающей силы ω₅= 0.95·p₂

График изменения прогиба η₂ в поперечном сечении балки с присоединенной массой, неподверженной воздействию поперечной силы, во времени (м).
Частота гармонической возмущающей силы ω₆ = 1.05·p₂

Амплитудные значения прогиба η2 в поперечном сечении балки с присоединенной массой, неподверженной воздействию поперечной силы и деформированные схемы в соответствующие моменты (м).
Частота гармонической возмущающей силы ω₆ = 1.05·p₂

График изменения прогиба η₂ в поперечном сечении балки с присоединенной массой, неподверженной воздействию поперечной силы, во времени (м).
Частота гармонической возмущающей силы ω₇ = 1.5·p₂

Сравнение решений:

Графики изменения прогибов η₁ и η₂ в поперечных сечениях балки с присоединенными массами во времени по теоретическому решению (м)
Частота гармонической возмущающей силы ω₁ = 0.5·p₁

Графики изменения прогибов η₁ и η₂ в поперечных сечениях балки с присоединенными массами во времени по теоретическому решению (м)
Частота гармонической возмущающей силы ω₂ = 0.95·p₁

Графики изменения прогибов η₁ и η₂ в поперечных сечениях балки с присоединенными массами во времени по теоретическому решению (м)
Частота гармонической возмущающей силы ω₃ = 1.05·p₁

Графики изменения прогибов η₁ и η₂ в поперечных сечениях балки с присоединенными массами во времени по теоретическому решению (м)
Частота гармонической возмущающей силы ω₄ = 0.5·(p₁+ p₂)

Графики изменения прогибов η₁ и η₂ в поперечных сечениях балки с присоединенными массами во времени по теоретическому решению (м)
Частота гармонической возмущающей силы ω₅ = 0.95·p₂

Графики изменения прогибов η₁ и η₂ в поперечных сечениях балки с присоединенными массами во времени по теоретическому решению (м)
Частота гармонической возмущающей силы ω₆ = 1.05·p₂

Графики изменения прогибов η₁ и η₂ в поперечных сечениях балки с присоединенными массами во времени по теоретическому решению (м)
Частота гармонической возмущающей силы ω₇ = 1.5·p₂

Собственные частоты колебаний p, рад/с

Форма колебаний	Теория	SCAD	Отклонения, %
1	40.000	40.000	0.00
2	113.137	113.137	0.00

Амплитудные значения прогибов η в поперечных сечениях балки с присоединенными массами при частоте гармонической возмущающей силы ω₁ = 0.5·p₁

Узловая масса	Теория		SCAD
Узловая масса	Время, с	Прогиб, м	Время, с	Прогиб, м	Отклонения, %
1	0.0595	0.005054	0.0628	0.004927	2.51
1	0.1996	-0.007251	0.2011	-0.007248	0.04
1	0.3569	0.007232	0.3582	0.007229	0.04
1	0.5139	-0.007232	0.5153	-0.007229	0.04
2	0.0685	0.003899	0.0691	0.003809	2.31
2	0.2079	-0.005627	0.2074	-0.005627	0.00
2	0.3652	0.005613	0.3645	0.005612	0.02
2	0.5223	-0.005613	0.5216	-0.005612	0.02

Амплитудные значения прогибов η в поперечных сечениях балки с присоединенными массами при частоте гармонической возмущающей силы ω₂ = 0.95·p₁, м

Узловая масса	Теория		SCAD
Узловая масса	Время, с	Прогиб, м	Время, с	Прогиб, м	Отклонения, %
1	0.0401	0.003330	0.0397	0.003235	2.85
1	0.1181	-0.005009	0.1190	-0.005014	0.10
1	0.2016	0.004822	0.2017	0.004819	0.06
1	0.2842	-0.004834	0.2843	-0.004831	0.06
2	0.0490	0.002478	0.0496	0.002404	2.99
2	0.1268	-0.003825	0.1256	-0.003828	0.08
2	0.2103	0.003684	0.2116	0.003677	0.19
2	0.2929	-0.003692	0.2942	-0.003685	0.19

Амплитудные значения прогибов η в поперечных сечениях балки с присоединенными массами при частоте гармонической возмущающей силы ω₃ = 1.05·p₁

Узловая масса	Теория		SCAD
Узловая масса	Время, с	Прогиб, м	Время, с	Прогиб, м	Отклонения, %
1	0.0375	0.003077	0.0389	0.002985	2.99
1	0.1088	-0.004609	0.1077	-0.004618	0.19
1	0.1845	0.004383	0.1855	0.004377	0.14
1	0.2592	-0.004402	0.2603	-0.004396	0.14
2	0.0464	0.002267	0.0479	0.002193	3.26
2	0.1175	-0.003497	0.1167	-0.003504	0.20
2	0.1932	0.003325	0.1945	0.003318	0.21
2	0.2679	-0.003339	0.2693	-0.003332	0.21

Амплитудные значения прогибов η в поперечных сечениях балки с присоединенными массами при частоте гармонической возмущающей силы ω₄ = 0.5·(p₁+ p₂)

Узловая масса	Теория		SCAD
Узловая масса	Время, с	Прогиб, м	Время, с	Прогиб, м	Отклонения, %
1	0.0246	0.001770	0.0246	0.001714	3.16
1	0.0656	-0.002427	0.0657	-0.002453	1.07
1	0.1072	0.002082	0.1067	0.002072	0.48
1	0.1480	-0.002194	0.1478	-0.002196	0.09
2	0.0324	0.001179	0.0328	0.001136	3.65
2	0.0742	-0.001664	0.0739	-0.001685	1.26
2	0.1160	0.001388	0.1166	0.001382	0.43
2	0.1568	-0.001474	0.1576	-0.001473	0.07

Амплитудные значения прогибов η в поперечных сечениях балки с присоединенными массами при частоте гармонической возмущающей силы ω₅ = 0.95·p₂

Узловая масса	Теория		SCAD
Узловая масса	Время, с	Прогиб, м	Время, с	Прогиб, м	Отклонения, %
1	0.0191	0.001221	0.0187	0.001178	3.52
1	0.0488	-0.001538	0.0491	-0.001564	1.69
1	0.0783	0.001259	0.0784	0.001247	0.95
1	0.1073	-0.001408	0.1076	-0.001414	0.43
2	0.0260	0.000741	0.0257	0.000712	3.91
2	0.0569	-0.000918	0.0573	-0.000939	2.29
2	0.0866	0.000689	0.0866	0.000679	1.45
2	0.1154	-0.000809	0.1158	-0.000813	0.49

Амплитудные значения прогибов η в поперечных сечениях балки с присоединенными массами при частоте гармонической возмущающей силы ω₆ = 1.05·p₂

Узловая масса	Теория		SCAD
Узловая масса	Время, с	Прогиб, м	Время, с	Прогиб, м	Отклонения, %
1	0.0177	0.001085	0.0180	0.001046	3.59
1	0.0447	-0.001329	0.0444	-0.001354	1.88
1	0.0714	0.001080	0.0709	0.001064	1.48
1	0.0976	-0.001229	0.0973	-0.001235	0.49
2	0.0244	0.000638	0.0243	0.000612	4.08
2	0.0526	-0.000748	0.0529	-0.000769	2.81
2	0.0793	0.000545	0.0794	0.000534	2.02
2	0.1054	-0.000667	0.1058	-0.000671	0.60

Амплитудные значения прогибов η в поперечных сечениях балки с присоединенными массами при частоте гармонической возмущающей силы ω₇ = 1.5·p₂

Узловая масса	Теория		SCAD
Узловая масса	Время, с	Прогиб, м	Время, с	Прогиб, м	Отклонения, %
1	0.0134	0.000692	0.0133	0.000666	3.76
1	0.0326	-0.000756	0.0326	-0.000778	2.91
1	0.0511	0.000616	0.0511	0.000599	2.76
1	0.0695	-0.000734	0.0696	-0.000743	1.23
2	0.0191	0.000355	0.0192	0.000339	4.51
2	0.0394	-0.000320	0.0392	-0.000337	5.31
2	0.0577	0.000219	0.0577	0.000205	6.39
2	0.0760	-0.000318	0.0740	-0.000311	2.20

Замечания: При аналитическом решении собственные частоты колебаний p свободно опертой балки определяются по формулам:

\[ p_{1} =\sqrt {\frac{48\cdot E\cdot I}{m\cdot l^{3}}} ; \quad p_{2} =\sqrt {\frac{384\cdot E\cdot I}{m\cdot l^{3}}} . \]

При аналитическом решении прогибы η в поперечных сечениях балки с присоединенными массами во времени с учетом рассеивания энергии на внутреннее трение определяются по формулам (гипотеза вязкого трения Фойгта):

\[ {\begin{array}{*{20}c} {\eta_{1} \left( {\zeta_{1} ,\zeta_{2} ,t} \right)=\frac{P_{0} \cdot l^{3}}{768\cdot E\cdot I}\cdot \frac{8}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{1} ^{2}}+4\cdot \xi_{1}^{2}\cdot \frac{\frac{\omega^{2}}{p_{1} ^{2}}}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{1}^{2}}}}\cdot \left( {\cos \left( {\omega \cdot t} \right)-e^{\left( {-\xi_{1} \cdot p_{1} \cdot t} \right)}\cdot \cos \left( {p_{1} \cdot \sqrt {1-\xi_{1}^{2}} \cdot t} \right)+\frac{2\cdot \xi_{1} \cdot \frac{\omega }{p_{1} }}{1-\frac{\omega ^{2}}{p_{1}^{2}}}\cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)-} \right.} \\ {\left. {\frac{\xi_{1} }{\sqrt {1-\xi_{1}^{2}} }\cdot \frac{1+\frac{\omega^{2}}{p_{1}^{2}}}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{1} ^{2}}}\cdot e^{\left( {-\xi_{1} \cdot p_{1} \cdot t} \right)}\cdot \sin \left( {p_{1} \cdot \sqrt {1-\xi_{1}^{2}} \cdot t} \right)} \right)+\frac{P_{0} \cdot l^{3}}{768\cdot E\cdot I}\cdot \frac{1}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{2}^{2}}+4\cdot \xi_{2}^{2}\cdot \frac{\frac{\omega^{2}}{p_{2}^{2}}}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{2} ^{2}}}}\cdot } \\ {\left( {\cos \left( {\omega \cdot t} \right)-e^{\left( {-\xi_{2} \cdot p_{2} \cdot t} \right)}\cdot \cos \left( {p_{2} \cdot \sqrt {1-\xi_{2} ^{2}} \cdot t} \right)+\frac{2\cdot \xi_{2} \cdot \frac{\omega }{p_{2} }}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{2}^{2}}}\cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)-\frac{\xi_{2} }{\sqrt {1-\xi_{2}^{2}} }\cdot \frac{1+\frac{\omega ^{2}}{p_{2}^{2}}}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{2}^{2}}}\cdot e^{\left( {-\xi _{2} \cdot p_{2} \cdot t} \right)}\cdot \sin \left( {p_{2} \cdot \sqrt {1-\xi_{2}^{2}} \cdot t} \right)} \right)} \\ \end{array} }; \] \[ {\begin{array}{*{20}c} {\eta_{1} \left( {\zeta_{1} ,\zeta_{2} ,t} \right)=\frac{P_{0} \cdot l^{3}}{768\cdot E\cdot I}\cdot \frac{8}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{1} ^{2}}+4\cdot \xi_{1}^{2}\cdot \frac{\frac{\omega^{2}}{p_{1} ^{2}}}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{1}^{2}}}}\cdot \left( {\cos \left( {\omega \cdot t} \right)-e^{\left( {-\xi_{1} \cdot p_{1} \cdot t} \right)}\cdot \cos \left( {p_{1} \cdot \sqrt {1-\xi_{1}^{2}} \cdot t} \right)+\frac{2\cdot \xi_{1} \cdot \frac{\omega }{p_{1} }}{1-\frac{\omega ^{2}}{p_{1}^{2}}}\cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)-} \right.} \\ {\left. {\frac{\xi_{1} }{\sqrt {1-\xi_{1}^{2}} }\cdot \frac{1+\frac{\omega^{2}}{p_{1}^{2}}}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{1} ^{2}}}\cdot e^{\left( {-\xi_{1} \cdot p_{1} \cdot t} \right)}\cdot \sin \left( {p_{1} \cdot \sqrt {1-\xi_{1}^{2}} \cdot t} \right)} \right)-\frac{P_{0} \cdot l^{3}}{768\cdot E\cdot I}\cdot \frac{1}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{2}^{2}}+4\cdot \xi_{2}^{2}\cdot \frac{\frac{\omega^{2}}{p_{2}^{2}}}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{2} ^{2}}}}\cdot } \\ {\left( {\cos \left( {\omega \cdot t} \right)-e^{\left( {-\xi_{2} \cdot p_{2} \cdot t} \right)}\cdot \cos \left( {p_{2} \cdot \sqrt {1-\xi_{2} ^{2}} \cdot t} \right)+\frac{2\cdot \xi_{2} \cdot \frac{\omega }{p_{2} }}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{2}^{2}}}\cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)-\frac{\xi_{2} }{\sqrt {1-\xi_{2}^{2}} }\cdot \frac{1+\frac{\omega ^{2}}{p_{2}^{2}}}{1-\frac{\omega^{2}}{p_{2}^{2}}}\cdot e^{\left( {-\xi _{2} \cdot p_{2} \cdot t} \right)}\cdot \sin \left( {p_{2} \cdot \sqrt {1-\xi_{2}^{2}} \cdot t} \right)} \right)} \\ \end{array} }. \]