Свободно опертая балка с распределенной массой под действием поперечной гармонической возмущающей силы, расположенной в середине пролета

Цель: Определение деформированного состояния свободно опертой балки с распределенной массой от воздействия поперечной гармонической возмущающей силы, расположенной в середине пролета.

Файл с исходными данными:
5.13.spr,
График_5.13.txt

Формулировка задачи: В середине пролета свободно опертой балки постоянного сечения с равномерно распределенной массой μ в начальный момент времени прикладывается сила P0, в дальнейшем гармонически изменяющаяся с частотой ω. Определить собственные формы и частоты колебаний p свободно опертой балки, а также прогиб η в поперечном сечении середины пролета балки во времени.

Ссылки: С. П. Тимошенко, Курс теории упругости, под редакцией Э. И. Григолюка, Киев, Наукова думка, 1972, стр. 343.

Исходные данные:

E = 3.0·106 тс/м2 - модуль упругости;
ν = 0.2 - коэффициент Пуассона;
b = 0.4 м - ширина прямоугольного поперечного сечения балки;
h = 0.8 м - высота прямоугольного поперечного сечения балки;
l = 8.0 м - длина пролета балки;
γ = 2.5 тс/м3 - объемный вес материала балки;
P0 = 76.8 тс - амплитудное значение гармонической возмущающей силы, расположенной в середине пролета;
g = 10.00 м/с2 - значение ускорения свободного падения;
μ = 2.5·0.4·0.8/10.0 = 0.08 тс·с22 - значение равномерно распределенной массы балки;
I = 0.4·(0.8)3/12 = 0.017067 м4 - момент инерции поперечного сечения балки.


Частота гармонической возмущающей силы ω принимается в зависимости от значения частоты основного тона собственных колебаний балки p1:

ω = 0.5·p1.

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – балочный ростверк / плита, 32 стержневых элемента типа 3. Обеспечение граничных условий по свободно опертым торцам балки достигается за счет наложения связей по направлению степени свободы Z. Геометрическая неизменяемость расчетной схемы обеспечивается за счет наложения связи в узле поперечного сечения оси симметрии балки по направлению степени свободы UX. Распределенная масса задается преобразованием статической нагрузки от собственного веса балки μ·g.

Расчет производится в два этапа: сначала модальным анализом определяются собственные формы и частоты колебаний p, затем методом прямого интегрирования уравнений движения определяются прогибы η в поперечном сечении середины пролета балки во времени. Воздействие поперечной гармонической возмущающей силы описывается графиком изменения нагрузки во времени и задается в виде узловой силы, действующей по оси Z общей системы координат с масштабным множителем 1.0 и временем запаздывания 0.0 с. Интервалы между моментами времени графика изменения нагрузки равны Δtint = T/100, где T – период воздействия гармонической возмущающей силы, и соответствуют шагу интегрирования. При построении графика воздействие поперечной гармонической возмущающей силы принимается со значениями Pn = P0·cos(ω·n·Δtint) в моменты времени n·Δtint. Продолжительность процесса во времени равна t = 2·T. Коэффициенты критического демпфирования по 1-й и 2-й собственным частотам приняты с минимальным значением ξ = 0.0001. Коэффициент пересчета для присоединенного статического загружения равен k = 0.981 (формирование масс). Количество узлов в расчетной схеме – 33. При решении используется метод модального интегрирования. Определение собственных форм и частот выполнено методом итерации подпространств. При расчете используется матрица сосредоточенных масс.

Результаты решения в SCAD


Расчетная схема

 
1-я -- 16-я собственные формы колебаний

 


График изменения прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки во времени (м).


Амплитудные значения прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки и деформированные схемы в соответствующие моменты (м).


Сравнение решений:


График изменения прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки во времени по теоретическому решению (м)

 

Собственные частоты колебаний p, рад/с

Форма колебаний

Теория

SCAD

Отклонения, %

1

123.370

123.370

0.00

2

493.480

493.480

0.00

3

1110.330

1110.325

0.00

4

1973.921

1973.887

0.00

5

3084.251

3084.120

0.00

6

4441.322

4440.919

0.01

7

6045.133

6044.087

0.02

8

7895.684

7893.275

0.03

9

9992.974

9987.907

0.05

10

12337.005

12327.069

0.08

11

14927.777

14909.367

0.12

12

17765.288

17732.721

0.18

13

20849.539

20794.097

0.27

14

24180.531

24089.155

0.38

15

27758.262

27611.778

0.53

16

31582.734

31353.470

0.73

 



Амплитудные значения прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки при частоте гармонической возмущающей силы ω = 0.5·p1

Теория

SCAD

Время, с

Прогиб, м

Время, с

Прогиб, м

Отклонения, %

0.0210

0.002474

0.0224

0.002421

2.14

0.0510

-0.004428

0.0510

-0.004410

0.41

0.0809

0.002474

0.0815

0.002504

1.21

0.1017

0.000002

0.1019

0.000040

-

0.1228

0.002474

0.1223

0.002383

3.68

0.1528

-0.004428

0.1529

-0.004374

1.22

0.1828

0.002474

0.1834

0.002547

2.95


Замечания: При аналитическом решении собственные частоты колебаний p свободно опертой балки определяются по формуле:

\[ p_{1} =\frac{n^{2}\cdot \pi^{2}}{l^{2}}\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I}{\mu }} , \]

где n = 1, 2, 3, 4, … – номер формы собственных колебаний.

При аналитическом решении прогибы η в поперечном сечении середины пролета балки во времени определяются по формуле:

\[ \eta \left( t \right)=\frac{2\cdot P_{0} \cdot l^{3}}{\pi^{4}\cdot E\cdot I}\cdot \sum\limits_{n=1} {\left[ {\frac{\left( {\sin \left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)} \right)^{2}}{n^{4}\cdot \left( {1-\frac{\mu \cdot l^{4}\cdot \omega^{2}}{n^{4}\cdot \pi^{4}\cdot E\cdot I}} \right)}\cdot \left( {\cos \left( {\omega \cdot t} \right)-\cos \left( {\frac{n^{2}\cdot \pi^{2}}{l^{2}}\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I}{\mu }} \cdot t} \right)} \right)} \right]} ; \]