Свободно опертая балка с распределенной массой под действием равномерно распределенного мгновенного импульса (удар балки о неподвижные опоры)

Цель: Определение напряженно-деформированного состояния свободно опертой балки с распределенной массой от воздействия равномерно распределенного мгновенного импульса.

Файлы с исходными данными: DIN_B_IL.spr, График_DIN_B_IL.txt

Формулировка задачи: Свободно опертая балка постоянного сечения с равномерно распределенной массой μ нагружается равномерно распределенным мгновенным поперечным импульсом S на всей длине пролета L (ударяется о неподвижные опоры со скоростью v0 = S / μ). Определить собственные формы и частоты колебаний p свободно опертой балки, а также прогиб η и изгибающий момент M в поперечном сечении середины пролета балки во времени.

Ссылки: И. М. Рабинович, А. П. Синицын, О.В. Лужин, В.М. Теренин, Расчет сооружений на импульсные воздействия, Москва, Стройиздат, 1970, стр. 83.
С. Д. Пономарев, В. Л. Бидерман, К. К. Лихарев, В. М. Макушин, Н. Н. Малинин, В. И. Феодосьев, Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении. Расчеты при динамической нагрузке. Устойчивость. Ползучесть. Москва, Машгиз, 1952, стр. 364.

Исходные данные:

E = 3.0·106 тс/м2 - модуль упругости;
ν = 0.2 - коэффициент Пуассона;
b = 0.4 м - ширина прямоугольного поперечного сечения балки;
h = 0.8 м - высота прямоугольного поперечного сечения балки;
L = 8.0 м - длина пролета балки;
γ = 2.5 тс/м3 - объемный вес материала балки;
S = 0.8· тс∙с/м - значение равномерно распределенного мгновенного импульса;
g = 10.00 м/с2 - значение ускорения свободного падения;

 

μ = 2.5·0.4·0.8/10.0 = 0.08 тс·с22 - значение равномерно распределенной массы балки;
I = 0.4·(0.8)3/12 = 0.017067 м4 - момент инерции поперечного сечения балки.


Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – балочный ростверк / плита, 32 стержневых элемента типа 3. Обеспечение граничных условий по свободно опертым торцам балки достигается за счет наложения связей по направлению степени свободы Z. Геометрическая неизменяемость расчетной схемы обеспечивается за счет наложения связи в узле поперечного сечения оси симметрии балки по направлению степени свободы UX. Распределенная масса задается преобразованием статической нагрузки от собственного веса балки μ·g.

Расчет производится в два этапа: сначала модальным анализом определяются собственные формы и частоты колебаний p, затем методом прямого интегрирования уравнений движения определяются прогибы η в поперечном сечении середины пролета балки во времени. Воздействие равномерно распределенного мгновенного поперечного импульса описывается графиком изменения нагрузки во времени и задается в виде узловых сил, действующих по оси Z общей системы координат с масштабным множителем, равным длине стержневого конечного элемента l / n = 0.25 м ( n – количество конечных элементов в расчетной схеме), и временем запаздывания 0.0 с. Интервалы между моментами времени графика изменения нагрузки равны Δtint = 0.00001 c  и соответствуют шагу интегрирования. При построении графика импульсное воздействие принимается с прямоугольной функцией формы, значением силы P = S· Δtint = 80000 тс и продолжительностью во времени  Δtint = 0.00001 c. Продолжительность процесса во времени равна t = 0.05094 с, что соответствует величине периода колебаний основного тона T1. Коэффициенты критического демпфирования по 1-й и 2-й собственным частотам приняты с минимальным значением ξ = 0.0001. Коэффициент пересчета для присоединенного статического загружения равен k = 0.981 (формирование масс). Количество узлов в расчетной схеме – 33. При решении используется метод модального интегрирования. Определение собственных форм и частот выполнено методом итерации подпространств. При расчете используется матрица сосредоточенных масс.

Результаты решения в SCAD


Расчетная схема


1-я - 16-я собственные формы колебаний


График изменения прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки во времени (м)


Амплитудные значения прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки и деформированные схемы в соответствующие моменты времени (м)


График изменения изгибающего момента M в поперечном сечении середины пролета балки во времени (тм·м)


Амплитудные значения изгибающего момента M в поперечном сечении середины пролета балки (тм·м)


Сравнение решений:

Собственные частоты колебаний p, рад/с

Форма колебаний

Теория

SCAD

Отклонения, %

1

123.370

123.370

0.00

2

493.480

493.480

0.00

3

1110.330

1110.325

0.00

4

1973.921

1973.887

0.00

5

3084.251

3084.120

0.00

6

4441.322

4440.919

0.01

7

6045.133

6044.087

0.02

8

7895.684

7893.275

0.03

9

9992.974

9987.907

0.05

10

12337.005

12327.069

0.08

11

14927.777

14909.367

0.12

12

17765.288

17732.721

0.18

13

20849.539

20794.097

0.27

14

24180.531

24089.155

0.38

15

27758.262

27611.778

0.53

16

31582.734

31353.470

0.73

 


График изменения прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки во времени по теоретическому решению (м)

 


График изменения изгибающего момента M в поперечном сечении середины пролета балки во времени по теоретическому решению (тм·м)

Амплитудные значения прогиба η в поперечном сечении середины пролета балки, м

Теория

SCAD

Время, с

Прогиб, м

Время, с

Прогиб, м

Отклонения, %

0.014617

0.103196

0.014660

0.102998

0.19

0.036313

-0.103196

0.036330

-0.102825

0.36

 

Амплитудное значение изгибающего момента M в поперечном сечении середины пролета балки, тс·м

Теория

SCAD

Время, с

Изгибающий момент, тс·м

Время, с

Изгибающий момент, тс·м

Отклонения, %

0.015162

-1369.739

0.015240

-1203.795

12.12

0.035768

1369.739

0.035710

1177.088

14.06

 

Замечания: При аналитическом решении собственные частоты колебаний p свободно опертой балки определяются по формуле:

\[ p_{1} =\frac{n^{2}\cdot \pi^{2}}{l^{2}}\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I}{\mu }} , \]

где n = 1, 2, 3, 4, … – номер формы собственных колебаний.

При аналитическом решении прогиб η и изгибающий момент M в поперечном сечении середины пролета балки во времени определяются по формуле:

\[ \eta \left( t \right)=\frac{4\cdot S\cdot l^{2}}{\pi^{3}\cdot \sqrt {\mu \cdot E\cdot I} }\cdot \sum\limits_{n=1} {\left[ {\frac{\sin \left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \sin \left( {\frac{n^{2}\cdot \pi ^{2}}{l^{2}}\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I}{\mu }} \cdot t} \right)}{n^{3}}} \right]} ; \] \[ M\left( t \right)=\frac{4\cdot S}{\pi }\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I}{\mu }} \cdot \sum\limits_{n=1} {\left[ {\frac{\sin \left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \sin \left( {\frac{n^{2}\cdot \pi^{2}}{l^{2}}\cdot \sqrt {\frac{E\cdot I}{\mu }} \cdot t} \right)}{n}} \right]} . \]