Свободные колебания квадратной консольной пластины
Цель: Модальный анализ квадратной консольной пластины.
Файл с исходными данными: 5.5.spr
Формулировка задачи: Определить собственные формы и частоты колебаний ω квадратной консольной пластины с плотностью материала ρ.
Ссылки: И. А. Биргер, Я. Г. Пановко, Прочность, устойчивость, колебания, Справочник в трех томах, Том 3, Москва, Машиностроение, 1968, стр. 382.
Исходные данные:
| E = 2.06·108 кПа | - модуль упругости; |
| ν = 0.3 | - коэффициент Пуассона; |
| ρ = 7.85 т/м3 | - плотность материала; |
| h = 0.01 м | - толщина пластины; |
| a1 = 1.0 м | - размер длинной стороны пластины (вдоль оси X общей системы координат); |
| a2 = 1.0 м | - размер короткой стороны пластины (вдоль оси Y общей системы координат). |
Конечноэлементная модель: Расчетная схема – балочный ростверк / плита, 400 элементов плиты типа 20. Сетка конечных элементов разбита по длинам сторон пластины (вдоль осей X, Y общей системы координат) с шагом 0.05 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей по направлению степеней свободы Z, UX, UY для одной из кромок, расположенных вдоль оси Y общей системы координат. Распределенная масса задается преобразованием статической нагрузки от собственного веса пластины ow = γ∙h, где γ = ρ∙g = 77.01 кН/м3. Количество узлов в расчетной схеме – 441. Определение собственных форм и частот выполнено методом Ланцоша. При расчете используется согласованная матрица масс.
Результаты решения в SCAD
Расчетная схема
1-я собственная форма колебаний
2-я собственная форма колебаний
3-я собственная форма колебаний
4-я собственная форма колебаний
5-я собственная форма колебаний
Сравнение решений:
Собственные частоты колебаний ω, рад / с
|
Форма колебаний |
Узловые линии |
Теория |
SCAD |
Отклонения, % |
|---|---|---|---|---|
|
1 |
|
54.2 |
53.8 |
0.71 |
|
2 |
|
132.5 |
131.9 |
0.43 |
|
3 |
|
332.4 |
330.0 |
0.72 |
|
4 |
|
425.7 |
421.8 |
0.91 |
|
5 |
|
483.2 |
480.3 |
0.61 |
Замечания: При аналитическом решении собственные частоты колебаний ω квадратной консольной пластины с плотностью материала ρ могут быть вычислены по следующей формуле, полученной на основе решения по методу Рэлея-Ритца:
\[\omega =\frac{\omega_{m}^{\ast } }{a_{1}^{2}}\cdot \left( {\frac{D}{\rho \cdot h}} \right)^{\frac{1}{2}},\quad где \quad при \quad\frac{a_{2} }{a_{1} }=1\quad: \] \[ \omega_{1}^{\ast } =3.494, \quad \omega_{2}^{\ast } =8.547, \quad \omega_{3}^{\ast } =21.44, \quad \omega_{2}^{\ast } =27.46, \quad \omega_{2}^{\ast } =31.17, \quad D=\frac{E\cdot h^{3}}{12\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)} \]