Свободные колебания прямоугольной шарнирно опертой по периметру пластины

Цель: Модальный анализ прямоугольной шарнирно опертой по периметру пластины.

Формулировка задачи: Определить собственные формы и частоты колебаний ω прямоугольной шарнирно опертой по периметру пластины с плотностью материала ρ.

Ссылки: И. А. Биргер, Я. Г. Пановко, Прочность, устойчивость, колебания, Справочник в трех томах, Том 3, Москва, Машиностроение, 1968, стр. 375.

Исходные данные:

E = 2.06·108 кПа - модуль упругости;
ν = 0.3 - коэффициент Пуассона;
ρ = 7.85 т/м3 - плотность материала;
h = 0.01 м - толщина пластины;
a1 = 1.5 м - размер длинной стороны пластины (вдоль оси X общей системы координат);
a2 = 1.0 м - размер короткой стороны пластины (вдоль оси Y общей системы координат).

 

Файл с исходными данными: 5.3.spr

 


Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – балочный ростверк / плита, 600 элементов плиты типа 20. Сетка конечных элементов разбита по длинам сторон пластины (вдоль осей X, Y общей системы координат) с шагом 0.05 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей по направлению степени свободы Z для кромок, расположенных вдоль осей X и Y общей системы координат. Распределенная масса задается преобразованием статической нагрузки от собственного веса пластины ow = γ•h, где γ = ρ•g = 77.01 кН/м3. Количество узлов в расчетной схеме – 651. Определение собственных форм и частот выполнено методом итерации подпространств. При расчете используется матрица сосредоточенных масс.

Результаты решения в SCAD



Расчетная схема



1-я собственная форма колебаний



2-я собственная форма колебаний



3-я собственная форма колебаний



4-я собственная форма колебаний



5-я собственная форма колебаний



6-я собственная форма колебаний



7-я собственная форма колебаний



8-я собственная форма колебаний



9-я собственная форма колебаний



10-я собственная форма колебаний



11-я собственная форма колебаний



12-я собственная форма колебаний



13-я собственная форма колебаний



14-я собственная форма колебаний



15-я собственная форма колебаний



16-я собственная форма колебаний



17-я собственная форма колебаний



18-я собственная форма колебаний



19-я собственная форма колебаний



20-я собственная форма колебаний


Сравнение решений:

Собственные частоты колебаний ω, рад / с

Форма колебаний

Число полуволн m1, m2

Теория

SCAD

Отклонения, %

1

1, 1

221.0

221.1

0.05

2

2, 1

425.0

425.3

0.07

3

1, 2

678.0

680.3

0.34

4

3, 1

765.0

765.6

0.08

5

2, 2

884.0

885.1

0.12

6

3, 2

1224.0

1226.4

0.20

7

4, 1

1241.0

1242.0

0.08

8

1, 3

1445.0

1445.5

0.03

9

2, 3

1649.0

1651.4

0.15

10

4, 2

1700.0

1704.3

0.25

11

5, 1

1853.0

1854.6

0.09

12

3, 3

1989.0

1994.5

0.28

13

5, 2

2312.0

2318.8

0.29

14

4, 3

2465.0

2474.9

0.40

15

1, 4

2516.0

2516.8

0.03

16

6, 1

2601.0

2603.1

0.08

17

2, 4

2720.0

2724.1

0.15

18

3, 4

3060.0

3069.7

0.32

19

6, 2

3060.0

3069.7

0.32

20

5, 3

3077.0

3092.5

0.50

 

Замечания: При аналитическом решении собственные частоты ω колебаний прямоугольной шарнирно опертой по периметру пластины с плотностью материала ρ могут быть вычислены по следующей формуле:

\[ \omega =\pi^{2}\cdot \left( {\frac{m_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}+\frac{m_{2} ^{2}}{a_{2}^{2}}} \right)\cdot \left( {\frac{D}{\rho \cdot h}} \right)^{\frac{1}{2}},\quad где: \quad D=\frac{E\cdot h^{3}}{12\cdot \left( {1-\mu ^{2}} \right)}, \quad m_{1} ,m_{2} =1,2,3, ... \]