SCAD: Линейная динамика

Свободные колебания круговой цилиндрической оболочки, свободно опертой по торцам

Цель: Модальный анализ круговой цилиндрической оболочки, свободно опертой по торцам.

Файл с исходными данными: 5.8_s.spr

Формулировка задачи: Определить собственные формы и частоты колебаний ω круговой цилиндрической оболочки, свободно опертой по торцам, с плотностью материала ρ.

Ссылки: И. А. Биргер, Я. Г. Пановко, Прочность, устойчивость, колебания, Справочник в трех томах, Том 3, Москва, Машиностроение, 1968, стр. 426.

В. Л. Бидерман, Теория механических колебаний, Москва, Высшая школа, 1980, стр. 290.

Исходные данные:

E = 1.96·108 кПа - модуль упругости;
ν = 0.3 - коэффициент Пуассона;
ρ = 7.70 т/м3 - плотность материала;
h = 0.25·10-3 м - толщина цилиндрической оболочки;
R = 0.076 м - радиус срединной поверхности цилиндрической оболочки;
L = 0.305 м - длина цилиндрической оболочки.


Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида, 6400 четырехузловых элементов оболочки типа 50. Сетка конечных элементов разбита с шагом 4.765625·10-3 м в меридиональном направлении (64 элемента) и с шагом 3.6º в окружном направлении (100 элементов). Обеспечение граничных условий на свободно опертых торцах достигается за счет наложения связей по направлениям линейных перемещений в их плоскости (степени свободы Y, Z). Геометрическая неизменяемость расчетной схемы обеспечивается за счет наложения связей конечной жесткости (100 элементов типа 51) в узлах поперечного сечения плоскостью симметрии цилиндрической оболочки в меридиональном направлении (kx = 1.0 кН/м). Распределенная масса задается преобразованием статической нагрузки от собственного веса цилиндрической оболочки: ow = γ∙h, где γ = ρ∙g = 75.537 кН/м3. Количество узлов в расчетной схеме – 6500. Определение собственных форм и частот выполнено методом итерации подпространств. При расчете используется матрица сосредоточенных масс.

Результаты решения в SCAD


Расчетная схема

 


2-я (1-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



4-я (3-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



6-я (5-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



8-я (7-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



10-я (9-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



12-я (11-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



14-я (13-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



16-я (15-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



18-я (17-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



20-я (19-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



22-я (21-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



24-я (23-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



26-я (25-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



28-я (27-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



30-я (29-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



32-я (31-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



34-я (33-я теоретическая) собственная форма колебаний

 

 



36-я (35-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



38-я (37-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



40-я (39-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



42-я (41-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



44-я (43-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



46-я (45-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



48-я (47-я теоретическая) собственная форма колебаний

 



50-я (49-я теоретическая) собственная форма колебаний

 

Сравнение решений:

 

Собственные частоты колебаний ω, Гц

Форма колебаний

Число узловых окружностей m и меридианов n

Теория

SCAD

Отклонения, %

1, 2

2, 5

354.4

354.9

0.14

3, 4

2, 6

408.3

408.9

0.15

5, 6

2, 4

409.5

410.1

0.15

7, 8

2, 7

522.1

522.9

0.15

9, 10

2, 3

642.1

642.8

0.11

11, 12

2, 8

671.1

672.0

0.13

13, 14

3, 7

723.2

724.9

0.24

15, 16

3, 6

768.5

770.3

0.23

17, 18

3, 8

784.3

785.9

0.20

19, 20

2, 9

846.2

847.3

0.13

21, 22

3, 9

914.9

916.6

0.19

23, 24

3, 5

962.3

964.5

0.23

25, 26

2, 10

1044.3

1045.7

0.13

27, 28

3, 10

1090.7

1092.5

0.17

29, 30

4, 8

1095.6

1099.3

0.34

31, 32

4, 9

1115.7

1119.2

0.31

33, 34

4, 7

1194.2

1198.2

0.33

35, 36

4, 10

1223.2

1226.5

0.27

37, 38

2, 2

1241.3

1242.5

0.10

39, 40

2, 11

1264.3

1265.9

0.13

41, 42

3, 11

1299.1

1301.2

0.16

43, 44

3, 4

1368.6

1370.9

0.17

45, 46

4, 11

1391.6

1395.0

0.24

47, 48

4, 6

1444.4

1448.8

0.30

49, 50

5, 9

1470.4

1477.2

0.46

51, 52

5, 10

1474.4

1480.6

0.42

53, 54

2, 12

1505.8

1507.5

0.11

55, 56

3, 12

1534.3

1536.6

0.15

57, 58

5, 11

1570.6

1576.5

0.38

59, 60

5, 8

1584.6

1591.9

0.46

61, 62

4, 12

1603.7

1607.1

0.21

63, 64

5, 12

1735.5

1741.2

0.33

65, 66

2, 13

1768.5

1770.3

0.10

67, 68

3, 13

1793.5

1795.9

0.13

69, 70

6, 10

1837.2

1848.0

0.59

71, 72

5, 7

1842.3

1850.1

0.42

73, 74

6, 11

1844.3

1854.3

0.54

75, 76

4, 13

1849.2

1852.7

0.19

77, 78

4, 5

1892.8

1897.7

0.26

79, 80

6, 12

1942.4

1951.9

0.49

81, 82

6, 9

1942.8

1954.3

0.59

83, 84

5, 13

1951.0

1956.7

0.29

85, 86

2, 14

2052.3

2054.1

0.09

87, 88

3, 14

2075.2

2077.7

0.12

89, 90

6, 13

2111.1

2120.1

0.43

91, 92

4, 14

2122.7

2126.3

0.17

93, 94

3, 3

2137.0

2140.0

0.14

95, 96

6, 8

2181.3

2193.4

0.55

97, 98

5, 14

2205.6

2211.2

0.25

99, 100

7, 11

2199.6

2215.4

0.72

101, 102

7, 12

2223.0

2237.8

0.67

103, 104

5, 6

2275.4

2283.7

0.36

105, 106

7, 10

2281.7

2298.3

0.73

107, 108

7, 13

2333.3

2347.3

0.60

109, 110

6, 14

2333.8

2342.5

0.37

111, 112

2, 15

2357.2

2358.9

0.07

113, 114

3, 15

2378.9

2381.2

0.10

115, 116

4, 15

2421.3

2424.8

0.14

117, 118

7, 9

2485.9

2503.2

0.70

119, 120

5, 15

2492.0

2497.5

0.22

121, 122

7, 14

2512.8

2526.3

0.54

123, 124

8, 12

2565.0

2586.6

0.84

125, 126

6, 7

2574.4

2586.9

0.49

127, 128

6, 15

2598.7

2607.3

0.33

129,130

8, 13

2613.1

2633.7

0.79

131, 132

8, 11

2614.4

2637.0

0.86

133, 134

4, 4

2630.0

2635.4

0.21

135, 136

2, 16

2683.2

2684.5

0.05

137, 138

3, 16

2704.1

2706.1

0.07

139, 140

8, 14

2742.8

2762.4

0.71

141, 142

4, 16

2743.2

2746.5

0.12

143, 144

7, 15

2747.0

2759.9

0.47

145, 146

8, 10

2776.0

2799.3

0.84

147, 148

5, 16

2806.0

2811.3

0.19

149, 150

2, 1

2832.3

2835.3

0.11
 

Замечания: При аналитическом решении собственные частоты колебаний ω круговой цилиндрической оболочки, свободно опертой по торцам, с плотностью материала ρ могут быть определены из характеристического уравнения:

\[\left( {\frac{4\cdot \pi^{2}\cdot \rho \cdot R^{2}\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)}{E}} \right)^{3}\cdot \omega^{6}+K2\cdot \left( {\frac{4\cdot \pi ^{2}\cdot \rho \cdot R^{2}\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)}{E}} \right)^{2}\cdot \omega^{4}+K1\cdot \left( {\frac{4\cdot \pi^{2}\cdot \rho \cdot R^{2}\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)}{E}} \right)\cdot \omega ^{2}+K0=0, \quad где:\quad \] \[ K2=-1-\frac{1}{2}\cdot \left( {3-\nu } \right)\cdot \left[ {\left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{2}+n^{2}} \right]-\frac{h^{2}}{12\cdot R^{2}}\cdot \left\{ {\left[ {\left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{2}+n^{2}} \right]^{2}+2\cdot \left( {1-\nu } \right)\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{2}+n^{2}} \right\} \] \[ {\begin{array}{*{20}c} {K1=\frac{1}{2}\cdot \left( {1-\nu } \right)\cdot \left[ {\left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{2}+n^{2}} \right]^{2}+\frac{1}{2}\cdot \left( {3-\nu -2\cdot \nu^{2}} \right)\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{2}+\frac{1}{2}\cdot \left( {1-\nu } \right)\cdot n^{2}+} \\ {\frac{h^{2}}{12\cdot R^{2}}\cdot \left\{ {\frac{1}{2}\cdot \left( {3-\nu } \right)\cdot \left[ {\left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{2}+n^{2}} \right]^{3}} \right.+2\cdot \left( {1-\nu } \right)\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{4}-\left( {2-\nu^{2}} \right)\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{2}\cdot n^{2}-\frac{1}{2}\left( {3+\nu } \right)\cdot n^{4}+} \\ {\left. {2\cdot \left( {1-\nu } \right)\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{2}+n^{2}} \right\} +\frac{h^{4}}{144\cdot R^{4}}\cdot \left\{ {2\cdot \left( {1-\nu } \right)\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{6}+\left( {1-\nu^{2}} \right)\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{4}\cdot n^{2}} \right\}} \\ \end{array} } \] \[ {\begin{array}{*{20}c} {K0=-\frac{1}{2}\cdot \left( {1-\nu } \right)\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{4}-\frac{1}{2}\cdot \left( {1-\nu } \right)\cdot \frac{h^{2}}{12\cdot R^{2}}\cdot \left\{ {\left[ {\left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{2}+n^{2}} \right]^{4}-2\cdot \left( {4-\nu^{2}} \right)\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{4}\cdot n^{2}-} \right.} \\ {\left. {8\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{2}\cdot n^{4}-2\cdot n^{6}+4\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{4}+4\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{2}\cdot n^{2}+n^{4}} \right\} -} \\ {\frac{1}{2}\cdot \left( {1-\nu } \right)\cdot \frac{h^{4}}{144\cdot R^{4}}\cdot \left\{ {4\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{8}-4\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{6}\cdot n^{2}+\left( {1-\nu^{2}} \right)\cdot \left( {\frac{\left( {m-1} \right)\cdot \pi \cdot R}{L}} \right)^{4}\cdot n^{4}} \right\}} \\ \end{array} } \]

m=2,3,4, ... - число узловых линий в окружном направлении с учетом линий по торцевым опорным контурам,
n=0,1,2, ...- число пар узловых линий в меридиональном направлении при расположении каждой пары на одном диаметре.