Устойчивость шарнирно-опертой балки под действием сосредоточенной продольной силы

Цель: Определение критического значения сосредоточенной продольной силы, действующей на шарнирно-опертую балку, соответствующего моменту потери ее устойчивости.

Файл с исходными данными: CB01_v11.3.spr

Формулировка задачи: Балка квадратного поперечного сечения, шарнирно-опертая по двум торцам, подвергается воздействию сосредоточенной продольной силы P. Определить критическое значение сосредоточенной продольной силы P_cr, соответствующее моменту потери устойчивости балки.

Ссылки: D. O. Brush and B. O. Almroth, Buckling of Bars, Plates and Shells, New York, McGraw-Hill Co., 1975, p. 22.

Исходные данные:

E = 3.0·107 Па	- модуль упругости,
L = 50.0 м	- длина балки;
h = 1.0 м	- сторона поперечного сечения балки;
P = 1.0·103 Н	- начальное значение сосредоточенной продольной силы.

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – плоская рама, 10 элементов типа 10. Сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси (вдоль оси X общей системы координат) с шагом 5.0 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей по направлениям степеней свободы X, Z на шарнирно-опертом (левом) торце и по направлению степени свободы Z на свободно-опертом (правом) торце. Воздействие с начальным значением сосредоточенной продольной силы P задается на свободно-опертом (правом) торце. Количество узлов в расчетной схеме – 11.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема

 

Форма потери устойчивости

Сравнение решений:

Параметр	Теория	SCAD	Отклонение, %
Критическое значение сосредоточенной продольной силы Pcr, Н	9869.6	9.8696•1000 = = 9869.6	0.00

Замечания: При аналитическом решении критическое значение сосредоточенной продольной силы P_cr определяется по следующей формуле:

\[ P_{cr} =\frac{\pi^{2}\cdot E\cdot I}{L^{2}}, \quad где: \quad I=\frac{h^{4}}{12}. \]